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8.3 简单几何体的表面积与体积8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学习目标核心素养1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．(重点)2．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点)1.借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养．2．通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究，提升逻辑推理的素养.1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；棱锥的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；棱台的体积公式V＝h(S′＋＋S)．其中，台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h.思考：简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？[提示] 表面积变大了，而体积不变．1．棱长为3的正方体的表面积为( )A．27 B．64 C．54 D．36C [根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.]8
2．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为( )A．6,22B．3,22C．6,11D．3,11A [V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22.]3．棱长都是3的三棱锥的表面积S为．9 [因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4××32＝9.]简单几何体的表面积【例1】 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．[解] 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝＋＝＝＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．8
1．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( )A.a2 B.a2C.a2D.a2A [∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，∴S表＝a2＋3××＝a2.]简单几何体的体积【例2】 三棱台ABCA1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比．[解] 设三棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.∴VA1ABC＝S△ABC·h＝Sh，VCA1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，∴VBA1B1C＝V台－VA1ABC－VCA1B1C1＝Sh－－＝Sh，∴体积比为1∶2∶4.8
求几何体体积的常用方法2．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为． [利用三棱锥的体积公式直接求解．VD1EDF＝VFDD1E＝S△D1DE·AB＝××1×1×1＝.]棱台与棱锥之间关系的综合问题【例3】 已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．[解] 如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.连接OE，O1E1，8
则OE＝AB＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3.过E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17，所以E1E＝3.所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3＝108.在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？[解] 如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P.取B1C1，BC的中点E1，E，则EE1的延长线必过P点(以后可以证明)．O1，O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心．由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，且有O1E1＝A1B1＝3，OE＝AB＝6，则有＝＝，即＝.所以PO1＝O1O＝12.在Rt△PO1E1中，PE＝PO＋O1E＝122＋32＝32×17，8
在Rt△POE中，PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝62×17，所以E1E＝PE－PE1＝6－3＝3.所以S侧＝4××(BC＋B1C1)×E1E＝2×(12＋6)×3＝108.解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决．1．棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长，是掌握它们的表面积有关问题的关键．2．计算棱柱、棱锥、棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题．3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”．1．判断正误(1)锥体的体积等于底面积与高之积．( )(2)台体的体积，可转化为两个锥体体积之差．( )(3)正方体的表面积为96，则正方体的体积为64.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1ACD的体积是( )8
A. B.C.D．1A [三棱锥D1ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.]3．已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为( )A.B.C.D.[答案] D4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为．18a2 [原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为a，每个小正方体的表面积S1＝a2×6＝a2，所以27个小正方体的表面积是a2×27＝18a2.]5．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥PABC的体积V.8
[解] 三棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．故V＝S△PAC·PB＝××2×4×3＝4.8
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