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10.1.3 古典概型学习目标核心素养1.结合具体实例，理解古典概型．(重点)2．能计算古典概型中简单随机事件的概率．(重点、难点)1.通过对古典概型概念的学习，培养学生数学抽象素养．2．通过计算古典概型的概率，培养学生数学建模、数学运算素养.1．古典概型的定义试验具有如下共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．2．古典概型的概率计算公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．思考1：“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？[提示] 不属于古典概型．因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．思考2：若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？[提示] 不一定是古典概型．还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型．8
1．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝.A．②④ B．①③④C．①④D．③④B [根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.]2．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )A.B.C.D．1C [从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.]3．从3男3女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于． [用A，B，C表示3名男同学，用a，b，c表示3名女同学，则从6名同学中选出2人的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，其中事件“2名都是女同学”包含样本点的个数为3，故所求的概率为＝.]古典概型的判断【例1】 下列是古典概型的是( )8
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止C [A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．]判断一个试验是古典概型的依据判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．1．下列试验是古典概型的为．(填序号)①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．①②④ [①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．]较简单的古典概型问题【例2】 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．[解] 只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则6听中选2听试验的样本空间为Ω＝{8
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点．有1听不合格的样本点有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个；有2听不合格的样本点有(5,6)，共1个，所以检测出不合格产品的概率为＝.求解古典概率“四步”法2．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．[解] (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，这个试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性是等可能的，可用古典概型来计算概率．用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6个样本点，所以P(A)＝＝.(2)由(1)知试验的样本空间共有15个样本点，用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一事件，则B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共包含8个样本点，所以P(B)＝.较复杂的古典概型问题8
[探究问题]1．古典概型的概率计算公式是什么？[提示] 事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．2．计算较复杂的古典概型的概率的关键是什么？[提示] 关键有两个：一是正确理解试验的意义，写出样本空间所包含的样本点及其总数；二是正确理解样本点与事件A的关系，正确计算事件A所包含的样本点数．【例3】 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．[思路探究] →→[解] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16.(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数共5个，即A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)}．所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.8
则事件B包含的样本点共6个，即B＝{(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．所以P(B)＝＝.事件C包含的样本点个数共5个，即C＝{(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}．所以P(C)＝.因为＞，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．1．在例3中求小亮获得玩具或水杯的概率．[解] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16.记“小亮获得玩具或水杯”为事件E，则事件E包含的样本点个数共11个，即E＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．所以P(E)＝.2．将例3中奖励规则改为：①若3≤x＋y≤5，则奖励玩具一个；②其余情况没有奖，求小亮获得玩具的概率．[解] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16.记“3≤x＋y≤5”为事件D，则事件D包含的样本点个数共9个，即D＝{(1,2)，(2,1)，(2,2)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)}．所以P(D)＝.解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式．但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：8
(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性．(2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件．1．古典概型是一种最基本的概率模型．判断试验是否为古典概型要紧紧抓住其两个特征：样本点的有限性和等可能性．2．求随机事件A包含的样本点的个数和样本点的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．3．在应用公式P(A)＝＝时，关键是正确理解样本点与事件A的关系，从而正确求出n(A)和n(Ω)．1．判断正误(1)任何一个事件都是一个样本点．( )(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．( )(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．( )[提示] (1)错误．一个事件可能是一个样本点，也可能包含若干个样本点．(2)正确．(3)正确．古典概型中任何两个样本点都不能同时发生，所以是互斥的．[答案] (1)× (2)√ (3)√2．下列试验是古典概型的是( )A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶C 8
[根据古典概型的两个特征进行判断．A项中两个基本事件不是等可能的，B项中基本事件的个数是无限的，D项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C项符合古典概型的两个特征．]3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )A. B. C. D.C [样本空间的样本点为：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率：P＝＝.]4．掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率．[解] 这个试验的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}．样本点总数n＝6，设事件A＝“掷得奇数点”＝{1,3,5}，其包含的样本点个数m＝3，所以P(A)＝＝.8
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