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8.2 立体图形的直观图学习目标核心素养1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点)通过学习空间几何体直观图的画法，培养直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.1．斜二测画法我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．2．平面图形直观图的画法及要求思考1：相等的角在直观图中还相等吗？[提示] 不一定．例如正方形的直观图为平行四边形．3．空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴；(2)平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度11
都不变．(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．思考2：空间几何体的直观图唯一吗？[提示] 不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．1．长方形的直观图可能为下图中的哪一个( )A．①② B．①②③C．②⑤D．③④⑤C [由斜二测画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正确．]2．梯形的直观图是( )A．梯形B．矩形C．三角形D．任意四边形A [斜二测画法中平行性保持不变，故梯形的直观图仍是梯形．]3．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝.45°或135° [因为∠A的两边平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.]平面图形的直观图【例1】 (1)如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为．11
(2)用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图．(1) [正方形的直观图A′B′C′D′如图：因为O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，所以顶点B′到x′轴的距离为1×sin45°＝.](2)[解] 画法：①在下图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.②在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.③在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD；④连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．11
① ② ③画平面图形的直观图的技巧：(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．1．画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．[解] (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.(3)擦去辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.11
画空间几何体的直观图【例2】 画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2cm)[思路探究] 先画轴，再利用斜二测画法，画出两个底面，连线成图，擦去多余的线．[解] 画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长2cm.(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为：―→―→―→2．用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm，3cm,2cm的长方体ABCDA′B′C′D′的直观图．[解] 画法：(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy11
＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．直观图的还原与计算[探究问题]1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？[提示] 根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．2．若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？[提示] 由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝＝10.3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是哪个？[提示] 由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC11
最长．【例3】 (1)如图①，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是( )A．1 B. C．2 D．4① ②(2)如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．[思路探究] 逆用斜二测画法，还原图形．先定点，再连线得原图形，求面积．(1)C [由题图知，△OAB为直角三角形．∵O′B′＝，∴A′B′＝，O′A′＝2.∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，∴S△OAB＝××4＝2.选C.](2)[解] 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.11
所以面积为S＝×2＝5.1．本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原图形的面积．[解] 如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝.而四边形AECD为矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1.所以BC＝BE＋EC＝＋1.由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形．① ②在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，所以原图形的面积为S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋.2．本例(1)若改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积”，应如何求？[解] 由斜二测画法规则可知，直观图△A′B′C′一底边上的高为a×11
×＝a，所以S△A′B′C′＝×a×a＝a2.3．本例(1)中直观图中△O′A′B′的面积与原图形面积之比是多少？[解] 由(1)中直观图可得S△O′A′B′＝××＝1，原图形面积为S△OAB＝2.所以＝＝.1．直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．2．直观图与原图形面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．1．判断正误用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.11
(1)原来相交的仍相交.( )(2)原来垂直的仍垂直.( )(3)原来平行的仍平行.( )(4)原来共点的仍共点.( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是( )A B C DC [正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形，且相邻的两边之比为2∶1，故选C.]3．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为．10 [由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.故原四边形OPQR的周长为10.]4．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．[解] (1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示． ① ② ③(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝11
OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC.(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．11
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