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第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例学习目标核心素养1.能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(重点)1.通过利用正、余弦定理解决实际问题，培养数学建模的核心素养．2．通过求解距离、高度等实际问题，提升数学运算的素养.1．基线的概念与选择原则(1)定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．(2)性质在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．思考1：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？[提示] 利用正弦定理和余弦定理．2．测量中的有关角的概念(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)(2)方向角11
从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图所示)思考2：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？[提示] 东南方向．1．如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据( )A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γD．α，β，bC [选择a，b，γ可直接利用余弦定理AB＝求解．]2．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为( )A．α＋βB．α－βC．β－αD．αC [如图所示，设小强观测山顶的仰角为γ，则β－γ＝α，因此γ＝β－α，故选C项．]3．某人先向正东方向走了xkm，然后他向右转150°，向新的方向走了3km，结果他离出发点恰好为km，那么x的值为( )A.B．2C．2或D．3C [如图，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos30°，11
即x2－3x＋6＝0，解得x＝2或.]测量距离问题【例1】 海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )A．10海里 B.海里C．5海里D．5海里D [根据题意，可得如图．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里)．]三角形中与距离有关问题的求解策略：(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．1．为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为m.60 [由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽：BD11
＝120·sin30°＝60(m)．]测量高度问题【例2】 济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1m)[解] 如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD中，根据正弦定理，＝.∴BD＝＝≈38.5(m)．在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°＝38.5×sin80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38m.解决测量高度问题的一般步骤：(1)画图：根据已知条件画出示意图．11
(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用.2．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值．[解] 由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，得＋＝，解得H＝＝＝124.因此电视塔的高度H是124m.角度问题[探究问题]1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是60°，距离是4km，从B到C，方位角是120°，距离是8km，从C到D，方位角是150°，距离是3km，试画出示意图．[提示] 如图所示：11
2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C点，则此人的速度至少是多少？[提示] 在探究1图中，在△ABC中，∠ABC＝60°＋(180°－120°)＝120°，由余弦定理得AC＝＝4，则此人的最小速度为v＝＝8(km/h)．3．在探究1中若投递员以24km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？[提示] 投递员到达C点的时间为t1＝＝(小时)＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t2＝＝(小时)＝15分钟；由于30>15＋10，所以此人在C点能与投递员相遇．【例3】 如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sinθ的值．(结果保留根号，无需求近似值)[思路探究] 根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将实际问题转化为数学问题，运用正、余弦定理解决．11
[解] 设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×，即128t2－60t－27＝0，解得t＝或t＝－(舍去)，∴AC＝21(海里)，BC＝15(海里)．根据正弦定理，得sin∠BAC＝＝，则cos∠BAC＝＝.又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，∴θ＝45°－∠BAC，sinθ＝sin(45°－∠BAC)＝sin45°cos∠BAC－cos45°sin∠BAC＝.(变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度．[解] 设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在△ABC中，AC＝28t，BC＝xt，∠CAB＝30°，∠ABC＝135°.11
由正弦定理得＝，即＝.所以x＝＝＝14(海里每小时)．故乙船的速度为14海里每小时．解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )11
A．北偏东5° B．北偏西10°C．南偏东5°D．南偏西10°B [由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.]2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于( )A．50米B．100米C．50米D．100米A [因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC为等腰三角形，所以AC＝DC＝100米，在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝50米．]3．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是( )A．8(＋)海里/时B．8(－)海里/时C．16(＋)海里/时D．16(－)海里/时D [由题意得在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.11
由正弦定理得＝，即＝，得AB＝8(－)，因此此船的航速为＝16(－)(海里/小时)．]4．在高出海平面200m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为m.200(＋1) [过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，则BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝200m.故两船距离BC＝BH＋CH＝200(＋1)m．]5．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离．[解] 由题意，画出示意图．(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12.由正弦定理得AD＝·sin45°＝24(海里)．(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，∴CD＝8(海里)．11
即A处与D处之间的距离为24海里，C，D之间的距离为8海里．11
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