资料简介
8.5.2直线与平面平行
一二一、直线与平面平行的判定定理1.思考(1)直线在平面外,是否说明直线与平面一定平行?提示不一定,也可能直线与平面相交.(2)如图,将课本ABCD的一边AB紧贴桌面α,把课本绕AB转动,在转动过程中,AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系?提示课本在转动过程中,因为CD与AB平行,AB在桌面α内,且CD不在桌面α内,所以CD与桌面是平行的.(3)如果直线a与平面α内的一条直线b平行,直线a与平面α一定平行吗?提示不一定,直线a可能在平面α内.
一二2.填空直线与平面平行的判定定理
一二3.做一做能保证直线a与平面α平行的条件是()A.b⊂α,a∥bB.b⊂α,c∥α,a∥b,a∥cC.b⊂α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BDD.a⊄α,b⊂α,a∥b答案:D
一二二、直线与平面平行的性质定理1.思考(1)如果直线和平面平行,那么这条直线与这个平面内的直线的位置关系是怎样的?提示平行或者异面.(2)若直线a与平面α平行,则在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?提示在平面α内与直线a平行的直线有无数条,这些直线互相平行.(3)如果直线与平面平行,那么经过直线的平面与此平面有哪几种位置关系?提示经过直线a的平面α与此平面平行或相交.
一二(4)如果直线a与平面α平行,经过直线a的平面β与平面α相交于直线b,那么这样的平面β有多少个?直线a,b的位置关系如何?为什么?提示如图,有无数个.直线a,b的位置关系为平行.因为直线a与平面α平行,所以直线a与平面α内的任何直线无公共点,所以a,b两直线平行.
一二2.填空直线与平面平行的性质定理
一二3.做一做(1)如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则()A.EF与BC相交B.EF∥BCC.EF与BC异面D.以上均有可能答案:B解析:∵平面SBC∩平面ABC=BC,又∵EF∥平面ABC,∴EF∥BC.
一二(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.①若直线l∥平面α,直线a⊂平面α,则l∥a.()②若直线l∥平面α,则l与平面α内的任意一条直线都不相交.()③若直线m∥平面α,n∥平面α,则m∥n.()答案:①×②√③×
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练直线与平面平行的判定例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.分析(方法一)作ME∥BC,交BB1于点E,作NF∥AD,交AB于点F,连接EF,转化为证明MN∥EF.(方法二)连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接B1P,转化为证明MN∥B1P.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练证法一如图①,作ME∥BC,交BB1于点E,作NF∥AD,交AB于点F,连接EF,则EF⊂平面AA1B1B,∴ME=NF.又ME∥BC∥AD∥NF,∴四边形MEFN为平行四边形.∴MN∥EF.∵MN⊄平面AA1B1B,EF⊂平面AA1B1B,∴MN∥平面AA1B1B.图①
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练证法二如图②,连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接B1P,则B1P⊂平面AA1B1B.∵△NDC∽△NBP,∴MN∥B1P.∵MN⊄平面AA1B1B,B1P⊂平面AA1B1B,∴MN∥平面AA1B1B.图②
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟证明线面平行的思路及步骤证明直线与平面平行,可以用定义,也可以用判定定理,但说明直线与平面没有公共点不是很容易(当然也可用反证法),所以更多的是用判定定理,用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下:
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1如图,P是▱ABCD所在平面外一点,E,F分别为AB,PD的中点,求证:AF∥平面PEC.证明:设PC的中点为G,连接EG,FG.∵F为PD的中点,∴GF∥CD,且GF=CD.∵AB∥CD,AB=CD,E为AB的中点,∴GF∥AE,GF=AE,∴四边形AEGF为平行四边形,∴EG∥AF.又∵AF⊄平面PEC,EG⊂平面PEC,∴AF∥平面PEC.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练直线与平面平行性质定理的应用例2如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.分析根据已知AB∥平面MNPQ,CD∥平面MNPQ,根据线面平行的性质定理,找出经过直线的平面与平面MNPQ的交线,转化为线线平行即可得证.证明:因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB⊂平面ABC,所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤(2)运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究2若本例中添加条件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四边形MNPQ的面积.解:由例1知,四边形MNPQ是平行四边形,∵AB⊥CD,∴PQ⊥QM,∴四边形MNPQ是矩形.∵BP∶PD=1∶1,∴PQ=5,QM=4,∴四边形MNPQ的面积为5×4=20.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练线面平行性质定理与判定定理的综合应用例3求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么该直线与相交平面的交线平行.分析先写出已知求证,再借助线面平行的性质定理与判定定理求解.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:已知a,l是直线,α,β是平面.a∥α,a∥β,且α∩β=l.求证:a∥l.证明如图,在平面α内任取一点A,且使A∉l.∵a∥α,∴A∉a.故点A和直线a确定一个平面γ,设γ∩α=m.同理,在平面β内任取一点B,且使B∉l,则点B和直线a确定平面δ,设δ∩β=n.∵a∥α,a⊂γ,γ∩α=m,∴a∥m.同理a∥n,则m∥n.又m⊄β,n⊂β,∴m∥β.∵m⊂α,α∩β=l,∴m∥l.又a∥m,∴a∥l.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟利用线面平行的判定和性质定理,可以完成线线平行与线面平行的相互转化.转化思想是一种重要数学思想.该转化过程可概括为:
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究若本例中条件改为“α∩β=l,γ∩β=m,γ∩α=n,且l∥m”,试判断直线l,m,n的位置关系,并说明你的理由.解:三条直线l,m,n相互平行,证明如下.如图,∵l∥m,m⊂γ,l⊄γ,∴l∥γ.又l⊂α,α∩γ=n,∴l∥n.又l∥m,∴m∥n,即直线l,m,n相互平行.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练考虑问题不全面导致漏解典例已知BC∥平面α,D在线段BC上,A∉α,直线AB,AC,AD分别交α于点E,G,F,且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的长.提示以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?点A的位置有三种情况:BC在A与平面α之间;A在BC与平面α之间;平面α在A与BC之间,错解中只考虑了第一种情况.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练正解(1)当BC位于点A与平面α之间时,同错解.(2)当点A在BC与平面α之间时,如图①,因为BC∥平面α,易错剖析本题中点A的位置有三种情况:①BC在点A与平面α之间;②点A在BC与平面α之间;③平面α在点A与BC之间.解题时容易只考虑其中一种情形而漏解.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于点D,E,且AD∶DB=AE∶EC,如图所示,则BC与α的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.BC⊂α答案:A解析:在△ABC中,∵AD∶DB=AE∶EC,∴BC∥DE.∵BC⊄α,DE⊂α,∴BC∥α.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练2.如图所示,过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1,则BB1与EE1的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定答案:A解析:∵BB1∥CC1,BB1⊄平面CDD1C1,CC1⊂平面CDD1C1,∴BB1∥平面CDD1C1.又BB1⊂平面BEE1B1,平面BEE1B1∩平面CDD1C1=EE1,∴BB1∥EE1.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC平行的平面是;与BC1平行的平面是;与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是.答案:平面A1B1C1D1与平面ADD1A1平面ADD1A1DC解析:观察图形,根据判定定理可知,与BC平行的平面是平面A1B1C1D1与平面ADD1A1;与BC1平行的平面是平面ADD1A1;因为平面A1B1C1D1与平面A1B1BA的交线是A1B1,所以与其都平行的棱是DC.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练4.如图所示,在空间四边形ABCD中,AC,BD为其对角线,E,F,G,H分别为AC,BC,BD,AD上的点,若四边形EFGH为平行四边形,求证:AB∥平面EFGH.证明:∵四边形EFGH为平行四边形,∴EF∥GH.∵GH⊂平面ABD,EF⊄平面ABD,∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC,平面ABC∩平面ABD=AB,∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,∴AB∥平面EFGH.
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