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8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
一二三一、空间中直线与直线的位置关系1.思考(1)在同一平面内,两条直线的位置关系有哪几种?提示有两种,平行和相交.(2)观察如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1,棱AA1和棱BB1,棱AD分别是什么关系?棱AA1与棱BC呢?提示棱AA1和棱BB1平行,棱AA1和棱AD相交,棱AA1与棱BC既不平行也不相交,即异面.(3)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗?提示不一定,它们可能相交、可能平行,也可能异面.(4)空间的两条直线有几种位置关系?分别是什么关系?提示三种:相交直线、平行直线和异面直线,其中相交直线和平行直线是共面直线.
一二三2.填空3.做一做:平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是.答案:相交或异面
一二三二、空间中直线与平面的位置关系1.思考观察如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1,线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系?提示直线A1B在平面ABB1A1内,与平面CDD1C1平行,与其余四个面相交.
一二三2.填空直线与平面的位置关系3.做一做:直线l与平面α有两个公共点,则()A.l∈αB.l∥αC.l与α相交D.l⊂α答案:D
一二三三、空间中平面与平面的位置关系1.思考观察前面问题中的长方体,平面ABCD与长方体的其余各个面,两两之间有几种位置关系?提示两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行.如平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,它们没有公共点,平面ABCD与平面ABB1A1相交,交线是AB.
一二三2.填空平面与平面的位置关系
一二三3.做一做(1)正方体的六个面中互相平行的平面有()A.1对B.2对C.3对D.4对(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系是.答案:(1)C(2)平行或相交解析:(1)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,故六个面中互相平行的平面有3对.
探究一探究二探究三随堂演练空间两条直线位置关系的判定例1(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线间的位置关系:①直线A1B与直线D1C;②直线A1B与直线B1C;③直线D1D与直线CE(E为线段C1D1的中点);④直线AB与直线B1C.(2)已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,则a与c有什么样的位置关系?并画图说明.
探究一探究二探究三随堂演练分析(1)(2)根据异面直线的定义分析.解:(1)①平行②异面③相交④异面(2)直线a与c的位置关系有三种情况,如图所示.直线a与c可能平行,如图①;可能相交,如图②;可能异面,如图③.
探究一探究二探究三随堂演练反思感悟空间两条直线位置关系的判定方法(1)判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用公理4判断.(2)判定两条直线是异面直线的方法:①定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;②排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交);③重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.如图,A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线.
探究一探究二探究三随堂演练延伸探究在本例的正方体中,所有与直线AB异面的棱所在的直线为.答案:CC1,B1C1,DD1,A1D1
探究一探究二探究三随堂演练直线与平面的位置关系例2给出下列四个命题:①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;④若a∥b,b⊂α,则直线a就平行于平面α内的无数条直线,其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4分析判断直线与平面位置关系,除了定义法外,还可以借助几何体模型(如长方体等)和举反例进行逐项判断.答案:A
探究一探究二探究三随堂演练解析:对于①,直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,∴l不一定平行于α.故①错.对于②,∵直线a在平面α外包括两种情形:a∥α,a与α相交,故②错.对于③,由直线a∥b,b⊂α,只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,故③错.对于④,∵a∥b,b⊂α,∴在平面α内与b平行的直线都与a平行,故④正确.反思感悟直线与平面的位置关系有三种,即直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行.(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据基本事实2知直线在平面内.(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点.(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点,也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直线与平面平行.
探究一探究二探究三随堂演练延伸探究若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是()A.α内的所有直线均与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点答案:D解析:由于直线a不平行于平面α,则a在α内或a与α相交,故A错;当a⊂α时,在平面α内存在与a平行的直线,故B错;因为α内的直线也可能与a平行或异面,故C错;由线面平行的定义知D正确.
探究一探究二探究三随堂演练平面与平面的位置关系例3给出的下列四个命题中,其中正确命题的个数是()①平面α内有两条直线和平面β平行,则这两个平面平行;②平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等,则α与β平行;④若两个不重合平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交.A.0B.1C.3D.4分析由平面间的位置关系逐一判断.
探究一探究二探究三随堂演练答案:B解析:如图甲,平面α内有无数条直线与β平行,但α与β相交;如图乙,△ABC的三个顶点到β的距离相等,但α与β相交.故①②③均错.不重合的两个平面,若它们有公共点,则它们有无数个公共点,都在它们的交线上,故④正确.
探究一探究二探究三随堂演练反思感悟平面与平面的位置关系有相交与平行.判定两个平面相交,只需找到两个平面的一个公共点,就可根据基本事实3知,两个不重合的平面是相交的.判定两个平面平行,可根据定义判定两个平面没有公共点,也可以排除两个平面相交,从而判定两平面平行.
探究一探究二探究三随堂演练变式训练已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;③若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的是.(将你认为正确的序号都填上)答案:②解析:①错,a与b也可能异面;②对,∵α∥β,∴α与β无公共点.又∵a⊂α,b⊂β,∴a与b无公共点;③错,a与β也可能平行.
探究一探究二探究三随堂演练1.直线a与直线b相交,直线c与直线b相交,则直线a与直线c的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能答案:D解析:如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与AA1相交,A1B1与AA1相交,AB∥A1B1;又AD与AA1相交,AB与AD相交;又A1D1与AA1相交,AB与A1D1异面.故选D.
探究一探究二探究三随堂演练2.若a是平面α外的一条直线,则直线a与平面α内的直线的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面答案:D解析:若a∥α,则a与α内的直线平行或异面;若a与α相交,则a与α内的直线相交或异面.3.已知直线a,b与平面α满足a∥α,b∥α,则a与b的位置关系是.答案:平行、相交或异面
探究一探究二探究三随堂演练4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是;(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是;(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是;(4)直线AB与直线B1C的位置关系是.答案:(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面解析:(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
探究一探究二探究三随堂演练5.过平面外两点,可作个平面与已知平面平行.答案:0或1解析:若过两点的直线与已知平面相交,则作不出平面与已知平面平行;若过两点的直线与已知平面平行,则可作一个平面与已知平面平行.
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