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8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一二一、棱柱、棱锥、棱台的表面积1.思考(1)在初中,我们已经学习了正方体和长方体的表面积,以及它们的展开图,那么相应几何体的展开图与其表面积有什么关系?提示相等.
一二(2)棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积?提示展开图如图所示.几何体表面积等于围成它的各个面的面积的和.要求表面积,只需求出围成几何体的各个面的面积,然后求和即可.
一二2.填空:棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开图的面积.3.做一做正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则它的侧面积为,表面积为.
一二二、棱柱、棱锥、棱台的体积1.思考(1)棱长为a的正方体体积为多少?长、宽、高分别为a,b,c的长方体的体积是多少?提示分别是a3与abc.(2)等底等高的棱柱和棱锥,它们的体积之间有什么关系?提示等底等高的棱锥体积是棱柱体积的.(3)棱台与棱锥有什么关系?如何求一个棱台的体积?提示棱台是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的,它的体积可用原棱锥体积减去截得的上部小棱锥的体积求解.
一二2.填空(1)一般地,如果棱柱的底面积是S,高是h,那么这个棱柱的体积V棱柱=Sh.(2)一般地,如果棱锥的底面积是S,高是h,那么这个棱锥的体积(3)如果棱台的上、下底面面积分别为S',S,高是h,那么这个棱台的体积V棱台=
一二3.做一做如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2,AB=1,那么该正四棱柱的体积为()A.1B.2C.4D.8答案:B解析:正四棱柱的体积为V=S正方形ABCD×AA1=12×2=2.
探究一探究二探究三随堂演练棱柱、棱锥、棱台的表面积例1如图是一个搭建好的帐篷,它的下部是一个正六棱柱,上部是一个正六棱锥,其中帐篷的高为PO,正六棱锥的高为PO1,且PO=3PO1.当PO1=2m,PA1=4m时,求帐篷的表面积.分析帐篷的表面积即上部棱锥侧面积与下部棱柱侧面积之和.
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探究一探究二探究三随堂演练反思感悟求解此类问题时,首先要注意题目要求侧面积还是表面积,其次观察几何体形状,是已知的棱柱、棱锥、棱台,还是由这些几何体形成的组合体,再利用公式准确计算相关的面积,从而求解.
探究一探究二探究三随堂演练延伸探究若把题目条件中“帐篷”改为“用某种材料制成条件中所示组合体形状的封闭容器”,表面积为多少?
探究一探究二探究三随堂演练棱柱、棱锥、棱台的体积例2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1.(1)求V1,V2以及V1∶V2;(2)求点A到平面A1BD的距离d.分析(1)首先明确截面将正方体分成的两个几何体的结构特征,然后求出V1,而V2直接用正方体的体积减去V1即得;(2)利用三棱锥的结构特征,根据等积变换列出方程求解.
探究一探究二探究三随堂演练解:(1)截面将正方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形,
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探究一探究二探究三随堂演练反思感悟求几何体体积的常用方法
探究一探究二探究三随堂演练延伸探究若【例2】中的正方体改为长方体,则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化?试证明你的结论.解:不妨设长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c.截面将长方体分为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,底面△ABD是两直角边分别为a,b的直角三角形,其面积
探究一探究二探究三随堂演练与正棱柱、正棱锥有关的体积和表面积问题例3一个正四棱锥的底面边长为3cm,侧棱长为5cm,则它的体积为cm3,表面积为cm2.分析由已知求得正四棱锥的底面积与高,代入棱锥体积公式可得体积;求出侧面上的高,结合条件可求表面积.
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探究一探究二探究三随堂演练反思感悟正棱锥的性质如下:①正棱锥的各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形,侧面等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高;②棱锥的高、斜高及斜高在底面的射影组成一个直角三角形;③棱锥的斜高、侧棱及底边边长的一半组成一个直角三角形;④棱锥的高、侧棱及侧棱在底面的射影组成一个直角三角形;⑤顶点在底面的射影为底面(正多边形)的中心;⑥棱锥的底面及平行于底面的截面为相似的多边形.
探究一探究二探究三随堂演练变式训练正四棱台(由正棱锥截得的棱台叫做正棱台)的上、下底面边长分别是2cm和6cm,两底面之间的距离为2cm,则该四棱台的侧面积为.解析:如图,取上、下底面中心O1,O,B1C1和BC的中点E1,E.在直角梯形OEE1O1中,EE1为侧面等腰梯形的高,过E1作E1H垂直于OE,垂足为H,OO1=2cm,O1E1=1cm,OE=3cm,∴HE=2cm.
探究一探究二探究三随堂演练1.若正方体的表面积为96,则正方体的体积为()答案:B解析:设正方体的棱长为a,则6a2=96,解得a=4,故V=a3=43=64.2.已知高为3的直棱柱ABC-A'B'C'的底面是边长为1的正三角形(如图所示),则三棱锥B'-ABC的体积为()答案:C
探究一探究二探究三随堂演练3.已知正四棱锥棱长为5,底面边长为6,则此正四棱锥的表面积是()答案:C4.已知一个正四棱柱的底面边长为1,其侧面的对角线长为2,则这个正四棱柱的侧面积为.
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