资料简介
8.2立体图形的直观图
一二一、水平放置的平面图形的直观图画法1.思考如图,观察边长2cm的正方形ABCD及其直观图,A'B'与C'D'有何位置关系?A'D'与B'C'呢?AB与A'B'相等吗?AD与A'D'呢?提示A'B'∥C'D',A'D'∥B'C',A'B'=AB,A'D'=AD.
一二2.填空:用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
一二3.做一做(1)已知在平面直角坐标系中,一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4cm,若AB∥x轴,则画出直观图后对应线段A'B'=cm,若AB∥y轴,则画出直观图后对应线段A'B'=cm.答案:42(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.①相等的角,在直观图中仍相等.()②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等.()③若两条线段平行,则在直观图中对应的线段仍平行.()④若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直.()答案:①×②×③√④×
一二二、空间几何体的直观图的画法1.思考利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则.提示(1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下,长度和角度可适当选取.为了增强立体感,被挡住的部分通常用虚线表示.(2)画法规则可简记为:两轴夹角为45°,竖轴垂直仍不变,平行不变,长度横竖不变,纵折半.(3)画空间几何体的直观图,要注意选取适当的坐标原点,建立坐标系画出坐标轴.2.填空画立体图形的直观图,在画轴时,要多画一条与平面x'O'y'垂直的轴O'z',且平行于O'z'的线段长度不变,其他同平面图形的直观图的画法.
一二3.做一做用斜二测画法画长、宽、高分别为8cm、6cm、4cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.解:(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
一二(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=8cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=3cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取4cm长的线段AA',BB',CC',DD'.(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.
探究一探究二探究三随堂演练画水平放置的平面图形的直观图例1如图,画出水平放置的等腰梯形的直观图.分析建系→定点→连线成图
探究一探究二探究三随堂演练画法(1)如图,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立平面直角坐标系,画对应的坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.(2)以点O'为中点在x'轴上取A'B'=AB,在y'轴上取O'E'=OE,以E'为中点画C'D'∥x'轴,并使C'D'=CD.(3)连接B'C',D'A',所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
探究一探究二探究三随堂演练反思感悟画水平放置的平面图形的直观图的技巧1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.2.画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
探究一探究二探究三随堂演练延伸探究把本例图形换成右图,试画出该图的直观图.解:(1)在已知的直角梯形ABCD中,以底边AB所在直线为x轴,垂直于AB的腰AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.如图①.(2)画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上取O'B'=AB,在y'轴上取O'D'=AD,过D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC.如图②.(3)连接B'C',所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形ABCD的直观图.如图③.
探究一探究二探究三随堂演练画空间几何体的直观图例2用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图,其中底面ABCDEF为正六边形,点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定).分析画轴→画底面→画顶点→成图解:(1)画出六棱锥P-ABCDEF的底面.如图1所示,在正六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为x轴,对称轴MN为y轴,两轴相交于点O.
探究一探究二探究三随堂演练(2)画相应的x'轴、y'轴和z'轴,三轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°;在图2(甲)中,以O'为中点,在x'轴上取A'D'=AD,在y'轴上取M'N'=MN;以点N'为中点画B'C'平行于x'轴,且等于BC;再以点M'为中点画E'F'平行于x'轴,且等于EF;连接A'B',C'D',D'E',F'A',得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'.(3)画正六棱锥P-ABCDEF的顶点.在z'轴上取点P',使P'O'=PO.(4)成图.连接P'A',P'B',P'C',P'D',P'E',P'F',并进行整理,便得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P'-A'B'C'D'E'F',如图2(乙)所示.
探究一探究二探究三随堂演练反思感悟画空间几何体的直观图的四个步骤(1)画轴.通常以高所在直线为z轴建系.(2)画底面.根据平面图形的直观图画法确定底面.(3)确定顶点.利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.(4)连线成图.画图完成后,擦除辅助线,看得见的地方用实线,被遮挡的部分用虚线(或不画),就得到了几何体的直观图.
探究一探究二探究三随堂演练变式训练1用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2,3,高为2.画法(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画下底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3,在y轴上取线段PQ,使PQ=1.5.分别过点M和点N作y轴的平行线,过点P和点Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD即为四棱台的下底面.(3)画上底面.在z轴上取一点O',使OO'=2,以O'为原点画直线a和直线b,使直线a∥x轴,直线b∥y轴,在平面aO'b内以O'为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图A'B'C'D'.
探究一探究二探究三随堂演练(4)连线.被遮挡的线画成虚线(如图①),擦去辅助线并整理就得到四棱台的直观图(如图②).
探究一探究二探究三随堂演练直观图的还原与计算问题例3如图,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O'D1=1.试画出原四边形的形状,并求原图形的面积.分析解答本题可先由斜二测画法的逆步骤来作,先确定点,再连线画出原图,然后进行计算.
探究一探究二探究三随堂演练解:如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O'D1=1,OC=O'C1=2.在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1=2.连接BC,即得到了原图形(如图).由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长度分别为AB=2,CD=3,直角腰长度为AD=2.故面积为S=×2=5.
探究一探究二探究三随堂演练反思感悟直观图的还原技巧1.由直观图还原为原图形是画直观图的逆过程:一是在直观图中建立坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°,对应地建立直角坐标系xOy;二是平行x'轴的线段长度不变,平行y'轴的线段扩大为原来的2倍;三是对于相邻两边不与x',y'轴平行的顶点可通过作x'轴、y'轴的平行线变换确定其在xOy中的位置.还原时,要注意坐标系变化前后变化的量与不变的量,计算时要结合两个坐标轴确定数据.2.原图形的面积S原与直观图的面积S直观有如下关系:S直观=S原.
探究一探究二探究三随堂演练变式训练2如图,在直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2cm,则在xOy坐标中原四边形OABC为(填形状),面积为cm2.答案:矩形8解析:由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形.因为OA=2cm,OC=4cm,所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2).
探究一探究二探究三随堂演练1.如图,已知等腰三角形ABC,则下图所示的四个图形中,可能是△ABC的直观图的是()A.①②B.②③C.②④D.③④
探究一探究二探究三随堂演练答案:D解析:当∠x'O'y'=135°时,其直观图是③;当∠x'O'y'=45°时,其直观图是④.
探究一探究二探究三随堂演练2.利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图,得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图),则原图形的形状是()答案:A
探究一探究二探究三随堂演练3.如图,一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面图形的面积为()答案:B
探究一探究二探究三随堂演练4.如图为一个水平放置的矩形ABCO,在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(4,2),则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中,顶点B'到x'轴的距离为.
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