资料简介
8.4.1平面
一二三一、平面1.思考(1)与点和直线类似,平面也是由现实事物抽象得到的.如课桌面、黑板面、平静的水面等,都给我们以平面的印象,请举出更多这样的例子,并说明平面的含义是什么?提示平整的地面、天花板等.几何中的平面是无限延展的、非常平、没有边界.(2)平面有厚薄与大小吗?提示平面没有厚薄,没有大小.(3)我们一般用线段来表示一条直线,那么通常用什么图形表示平面?提示一般用平行四边形表示平面,也可以用三角形、圆等其他平面图形.
一二三2.填空
一二三
一二三二、点、直线、平面之间的关系1.思考(1)平面α是由点组成的,直线l也是由点组成的,从集合的观点看,点P与直线l有何关系?点P与平面α有何关系?直线l与平面α呢?提示P∈l或P∉l.P∈α或P∉α.l⊂α或l⊄α.(2)若A∈a,a⊂α,能否推出A∈α?提示由直线在平面内的定义可知,若A∈a,a⊂α,则A∈α.
一二三2.填空
一二三3.做一做如图,点A平面ABC;点A平面BCD;BD平面ABD;平面ABC∩平面BCD=.答案:∈∉⊂BC
一二三三、平面的基本性质1.思考(1)过给定的两个点能作几个平面?过三个点能作几个平面?提示过两个点能作无数个平面.过三点时,如果三点在同一条直线上,能作无数个平面;如果三点不在同一条直线上,能作一个且只能作一个平面.(2)如何理解基本事实1中的“有且只有一个”?提示这里的“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,本公理强调的是存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”,必须完整地使用,不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”.否则就没有表达存在性.确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词,也就是存在性和唯一性这两个方面的,这个术语今后学习中会经常出现.
一二三(3)如果把一根直尺边缘上任意两点放在桌面上,直尺的整个边缘是否都落在桌面上?你能从中得到什么结论?提示整个边缘都落在桌面上.说明一条直线上如果有两点在一个平面内,这么直线就在这个平面内.(4)两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗?提示不能.要么没有公共点,要么有无数个公共点.(5)如果两个平面有无数个公共点,这些公共点有什么特点?提示这些公共点落在同一条直线上.
一二三2.填空(1)平面的基本性质
一二三
一二三(2)三个推论
一二三3.做一做空间任意四点最多可以确定平面的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:D解析:空间任意四点最多可以确定平面的个数是4,例如空间任意四点为三棱锥A-BCD的顶点时,可以确定平面ABC,平面ABD,平面ACD,平面BCD.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练证明点、线共面例1证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面.已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.分析先由l1与l2确定一个平面,再证明l3在这个平面内.也可以证明l1,l2确定的平面α与l2,l3确定的平面β重合.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练证法一(纳入平面法)∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2⊂α,∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α.∴直线l1,l2,l3在同一平面内.证法二(辅助平面法)∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β.∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟证明点、线共面问题的理论依据是基本事实1和基本事实2,常用方法有:(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入平面法”;(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”;(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”.注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形写出已知与求证,再证明.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究(1)把【例1】中的“不过同一点”删掉呢?这三条直线是否共面?(2)把【例1】中“三条直线”改为“四条直线”呢?这四条直线是否共面?试证明你的结论.解:(1)①不一定共面.若三条直线两两相交,且过同一个点.这三条直线在同一个平面内相交,如图.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练这三条直线不共面.如图.②若三条直线两两相交,且不过同一个点,由【例1】可知,这三条直线共面.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(2)共面.已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点.求证:a,b,c,d四线共面.证明:①无三线共点情况,如图.设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α.因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,所以NQ⊂α,即b⊂α.同理,c⊂α,所以a,b,c,d共面.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练②有三线共点的情况,如图.设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K∉a,因为K∉a,所以K和a确定一个平面,设为β.因为N∈a,a⊂β,所以N∈β.所以NK⊂β,即b⊂β.同理,c⊂β,d⊂β.所以a,b,c,d共面.由①②知,a,b,c,d共面.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练证明点共线例2已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.分析证明P,Q,R三点既在平面ABC内,也在平面α内,即得P,Q,R共线.也可以证明点Q既在平面APR内,也在平面α内,即点Q在平面APR与平面α的交线PR上.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练证法一∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,∴P,Q,R三点共线.证法二∵AP∩AR=A,∴直线AP与直线AR确定平面APR.又AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR.∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟点共线:证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上;也可先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在其上.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E.则B,E,D1三点的关系为.(填“共线”或“不共线”)答案:共线
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解析:如图所示,连接A1B,BD1,CD1.∵A1C∩平面ABC1D1=E,∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1,∴E∈平面A1BCD1.∵平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1,∴E∈BD1,∴B,E,D1三点共线.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练证明线共点例3如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于三条直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点.分析由a,b都在平面γ内且不平行,得a,b相交,再证明交点在c上,即证明交点在以c为交线的两个平面α,β内.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练证明:∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴a⊂γ,b⊂γ.∵直线a和b不平行,∴a,b必相交.如图所示,设a∩b=P,则P∈a,P∈b.∵a⊂β,b⊂α,∴P∈β,P∈α.又α∩β=c,∴P∈c,即交线c经过点P.∴a,b,c三条直线必过同一点.反思感悟证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点,再说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内,即该点在另一条直线上,则可得三线共点.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,且四边形EFGH为梯形,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练证明:延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O,∵HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH,∴EH,FG共面,且与FG不平行.∵O∈EH,EH⊂平面ABD,∴O∈平面ABD,∵O∈FG,FG⊂平面BCD,∴O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD,∴EH,BD,FG三条直线相交于同一点O.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练转化思想在文字语言、图形语言与符号语言中的应用典例(1)用符号语言表示下列语句,并画出图形.①三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;②平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.(2)用文字语言和符号语言表示下图.【审题视角】(1)根据条件,先适当确定其中的某一个平面,再根据点、线、面的位置关系,将其附着于固定平面上,注意图形的立体感,要将被遮挡部分用虚线表示.(2)用文字语言、符号语言表示一个图形时,应仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)①符号语言.α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC;图形表示如图所示.②符号语言.平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC;图形表示如图所示.(2)文字语言.平面α内的直线m和n相交于点A;符号语言.m⊂α,n⊂α,且m∩n=A.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练方法点睛用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形,有几个平面且位置关系如何,有几条直线且位置关系如何,图中的直线和平面的位置关系如何,有几点且在哪条直线或哪个平面上等,试着用文字语言表示,然后用符号语言表示.根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是()答案:D解析:选项A错误,理由是两平面的交线没画出,且被遮挡的部分未用虚线画出;选项B,C都错误,理由是被遮挡的部分未用虚线画出.D正确.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.经过空间任意三点作平面()A.只有一个B.可作两个C.可作无数多个D.只有一个或有无数多个答案:D解析:当三点在一条直线上时,过这三点的平面能作无数个;当三点不在同一条直线上时,过这三点的平面有且只有一个.故选D.2.下列图形中,不一定是平面图形的是()A.三角形B.平行四边形C.梯形D.四边相等的四边形答案:D解析:利用基本事实1可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形.故选D.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练3.下列说法正确的是()A.镜面是一个平面B.一个平面长10m,宽5mC.一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D.所有的平面都是无限延展的答案:D解析:镜面可以抽象成平面,但不是平面,所以选项A不正确;平面没有大小,所以选项B和选项C都不正确,故选D.4.已知平面α∩平面β=l,点P∈α,P∈β,则点P与直线l的关系是.答案:P∈l
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练5.不重合的三条直线,若相交于一点,最多能确定个平面.答案:3解析:三条直线相交于一点,最多可确定3个平面,如图所示,直线a,b,c相交于点A,直线a,b确定平面α,直线b,c确定平面β,直线a,c确定平面γ,共3个平面.
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