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第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
一二三四一、空间几何体的定义、分类与相关概念1.思考观察下列图片,这些都是我们日常熟知的一些物体或建筑:(1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形?提示图②④⑦.(2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形,又有曲面图形?提示①③⑤.(3)哪些物体围成它们的面都是曲面?提示⑥
一二三四2.填空(1)空间几何体:如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.(2)分类:常见的空间几何体有多面体和旋转体两类.(3)多面体和旋转体
一二三四
一二三四二、棱柱的结构特征1.思考(1)观察下列多面体,有什么共同特点?提示①有两个面相互平行;②其余各面都是平行四边形;③其余各面中每相邻两个四边形的公共边都互相平行.(2)有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱吗?举例说明.提示不一定.下图的几何体符合要求但不是棱柱.
一二三四2.填空(1)
一二三四(2)棱柱的分类(3)常见的几种四棱柱之间的转化关系
一二三四3.做一做下列命题正确的是()A.四棱柱是平行六面体B.直平行六面体是长方体C.长方体的六个面都是矩形D.底面是矩形的四棱柱是长方体答案:C解析:底面是平行四边形的四棱柱才是平行六面体,选项A错误;底面是矩形的直平行六面体才是长方体,选项B错误;底面是矩形的直四棱柱才是长方体,选项D错误;选项C显然正确.
一二三四三、棱锥的结构特征1.思考(1)观察下列多面体,有什么共同特点?提示①有一个面是多边形;②其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
一二三四(2)有一个面是多边形,其余各面是三角形的多面体一定是棱锥吗?提示不一定,其余各面必须要有一个公共顶点.如图所示的几何体符合问题中的条件,但不是棱锥.
一二三四2.填空(1)棱锥的定义、分类、图形及表示.
一二三四(2)正棱锥:底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥.
一二三四四、棱台的结构特征1.思考(1)观察下列多面体,分析其与棱锥有何区别与联系?提示①区别:该几何体有两个面相互平行而棱锥没有.②联系:用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,其底面和截面之间的部分即为该几何体.
一二三四(2)观察下面的几何体是否为棱台?为什么?提示不是.因为延长各侧棱不能还原成棱锥.
一二三四2.填空棱台的定义、分类、图形及表示.
一二三四3.做一做:(1)下列几何体中,是棱柱,是棱锥,是棱台(仅填相应序号).答案:①③④⑥⑤解析:结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台.
一二三四(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.①有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台.()②用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台.()③棱台的各条侧棱延长后必交于一点.()答案:①×②×③√
探究一探究二思维辨析随堂演练棱柱、棱锥、棱台的结构特征例1下列四个命题中,正确的有()①棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面;②各个面都是三角形的几何体是三棱锥;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;④四棱锥有4个顶点.A.0个B.1个C.3个D.4个分析所给命题→联想空间图形→紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征→作出判断答案:A
探究一探究二思维辨析随堂演练解析:①错误,底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行,但不能作为底面;②错误,如图所示的几何体各面均为三角形,但不是三棱锥;③错误,因为不能保证侧棱相交于同一点;④错误,四棱锥只有一个顶点,就是各侧面的公共顶点.反思感悟棱柱、棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特征的关键.因此,在涉及多面体的结构特征问题时,先看是否满足定义,再看它们是否具备各自的性质:侧面、底面形状、侧棱、棱之间的关系等.判断时要充分发挥空间想象能力,必要时可借助于几何模型.
探究一探究二思维辨析随堂演练变式训练下列说法正确的有(填序号).①棱柱的侧面都是平行四边形;②棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共点;③棱台的侧面有的是平行四边形,有的是梯形;④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点;⑤多面体至少有四个面.答案:①②④⑤解析:棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体,因而侧面是平行四边形,故①对.棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体,因而其侧面均是三角形,且所有侧面都有一个公共点,故②对.棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后,截面与底面之间的部分,因而其侧面均是梯形,且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点),故③错④对.⑤显然正确.因而正确的有①②④⑤.
探究一探究二思维辨析随堂演练多面体表面距离最短问题例2如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.分析把三棱锥的侧面展开,当△AEF的各边在同一直线上时,其周长最小.
探究一探究二思维辨析随堂演练解:将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,∴∠AVA1=90°.又VA=VA1=4,∴AA1=4,∴△AEF周长的最小值为4.反思感悟本题是多面体表面上两点间的最短距离问题,常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题.解决此类问题的方法就是先把多面体侧面展开,再用平面几何的知识来求解.
探究一探究二思维辨析随堂演练延伸探究如图,在以O为顶点的三棱锥中,过点O的三条棱,任意两条棱的夹角都是30°,在一条棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),求此绳在A,B之间的最短绳长.
探究一探究二思维辨析随堂演练解:作出三棱锥的侧面展开图,如图.A,B两点之间的最短绳长就是线段AB的长度.OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=5,即此绳在A,B之间最短的绳长为5.
探究一探究二思维辨析随堂演练柱、锥、台结构特征判断中的误区典例如图,以下关于该几何体的正确说法是(填序号).①这是一个六面体;②这是一个四棱台;③这是一个四棱柱;④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到;⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
探究一探究二思维辨析随堂演练解析:①正确,因为有六个面,属于六面体的范围;②错误,因为侧棱的延长线不能交于一点,所以不正确;③正确,如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱;④⑤都正确,如图.故填①③④⑤.答案:①③④⑤防范措施在解答关于空间几何体概念的判断题时,要注意紧扣定义,切忌只凭图形主观臆断.同时立体几何问题中也要注意分类讨论思想的应用,否则就会因审题片面而出错.
探究一探究二思维辨析随堂演练变式训练如图,甲、乙、丙是不是棱柱、棱锥、棱台?为什么?解:题图甲这个几何体不是棱柱.这是因为虽然上、下面平行,但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内.所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形,它更不是一个平行四边形,因此这个几何体不是一个棱柱.题图乙中的六个三角形没有一个公共点,故不是棱锥,只是一个多面体;题图丙也不是棱台,因为侧棱的延长线不能相交于同一点.
探究一探究二思维辨析随堂演练1.有两个面平行的多面体不可能是()A.棱柱B.棱锥C.棱台D.以上都不正确答案:B解析:因为棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不可能是棱锥.2.棱台不具备的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.所有棱都相等D.侧棱延长后都交于一点答案:C
探究一探究二思维辨析随堂演练3.观察如图的四个几何体,其中判断不正确的是()A.①是棱柱B.②不是棱锥C.③不是棱锥D.④是棱台答案:B解析:结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥,故B错误.
探究一探究二思维辨析随堂演练4.下列有关棱柱的说法:①棱柱的所有的面都是平面;②棱柱的所有的棱长都相等;③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形;④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等;⑤棱柱的上、下底面全等.其中正确的有.(填序号)答案:①④⑤解析:②棱柱的所有的侧棱棱长都相等,与底面的棱长不一定相等,故②错误;③棱柱的所有的侧面都是平行四边形,不一定都是长方形或正方形,故③错误;①④⑤正确.
探究一探究二思维辨析随堂演练5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则在正方体表面上,从顶点A到顶点C1的最短距离为.答案:2解析:将侧面ABB1A1与上底面A1B1C1D1展开在同一平面上,连接AC1,则线段AC1的长即为所求.如图,AC1=2.
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