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6.3.5平面向量数量积的坐标表示
一二一、平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示1.思考(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,i,j对应的坐标分别是什么?i2,j2,i·j,j·i如何计算?提示i=(1,0),j=(0,1),i2=1,j2=1,i·j=0,j·i=0.(2)已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢?提示∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2.又∵i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0,∴a·b=x1x2+y1y2.(3)两个互相垂直的非零向量a,b之间有什么关系?提示a⊥b⇔a·b=0.
一二2.填空(1)平面向量数量积的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.(2)两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.3.做一做:(1)若向量a=(4,-2),b=(-1,-6),则a·b=.(2)若向量a=(3,x),b=(2,-6),且a⊥b,则x=.答案:(1)8(2)1解析:(1)a·b=4×(-1)+(-2)×(-6)=8.(2)因为a⊥b,所以a·b=0,即3×2+(-6)x=0,解得x=1.
一二二、平面向量的模与夹角的坐标表示1.思考(1)若a=(x,y),那么a·a的结果是什么?提示a·a=(x,y)·(x,y)=x2+y2.(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),如何表示向量a?怎样表示|a|?(3)设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何由向量的数量积公式求这两个向量的夹角?
一二2.填空
一二3.做一做(1)设a=(-2,3),则|a|=;(2)若a=(4,-3),b=(-8,-6),则a,b夹角的余弦值等于;
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练数量积的坐标运算角度1数量积的基础坐标运算例1已知向量a=(-1,2),b=(3,2).(1)求a·(a-b);(2)求(a+b)·(2a-b);(3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c).分析根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)方法一:∵a=(-1,2),b=(3,2),∴a-b=(-4,0).∴a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.方法二:a·(a-b)=a2-a·b=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.(2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),∴(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.(3)(a·b)c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).a(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2数量积的坐标运算在几何图形中的应用分析可利用向量分解的方法,将用基底表示,然后利用运算律计算求解,也可建立平面直角坐标系,利用坐标运算求解.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:(1)B(2)C
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练
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探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用坐标运算解决模的问题例3已知向量a=(1,2),b=(3,-1).(1)求|a-2b|;(2)求与a垂直的单位向量;(3)求与b平行的单位向量.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练
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探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为()答案:C
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用坐标运算解决夹角与垂直问题例4已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.(1)求b与c;(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.分析(1)根据两向量平行与垂直的条件建立方程求解;(2)根据两向量的夹角公式求解.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)因为a∥b,所以3x=4×9,即x=12.因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3.故b=(9,12),c=(4,-3).(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).设m,n的夹角为θ,
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟解决向量夹角问题的方法及注意事项
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究本例中,其他条件不变,若向量d=(2,1),且c+td与d的夹角为45°,求实数t的值.解:由已知得c=(4,-3),所以c+td=(4,-3)+t(2,1)=(2t+4,t-3),
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练判断图形形状时考虑不全面致误典例已知A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练易错探因判断图形形状时,要全面考虑各种可能.本题由坐标运算得到,可以判断对边平行且相等,容易直接判断图形为平行四边形而致错.此时还需要进一步分析图形是否为矩形、菱形、正方形等特殊的平行四边形.如本题中进一步对邻边位置关系及长度关系分析,可知邻边垂直但不相等,所以四边形为矩形.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:D2.(2019北京高考)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=.答案:8解析:∵a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b,∴a·b=0,即-4×6+3m=0,即m=8.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练3.已知a=(1,2),b=(-2,n),且a⊥b,则|3a+b|=.答案:5解析:因为a⊥b,所以-2+2n=0.于是n=1,因此a=(1,2),b=(-2,1),所以3a+b=(1,7),故|3a+b|=5.4.已知a=(m,6),b=(2,1),向量a与向量b的夹角是锐角,则实数m的取值范围是.答案:m>-3,且m≠12解析:∵向量a与向量b的夹角是锐角,∴a·b=2m+6>0,即m>-3.∴m>-3,且m≠12.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练5.(2019四川广元高一检测)已知向量a=(1,2),b=(-3,4).(1)求|3a-b|的值;(2)若a⊥(a+λb),求λ的值.解:(1)因为向量a=(1,2),b=(-3,4),则3a-b=(6,2),则|3a-(2)因为向量a=(1,2),b=(-3,4),则a+λb=(1-3λ,2+4λ),若a⊥(a+λb),则a·(a+λb)=1×(1-3λ)+2×(2+4λ)=5+5λ=0,解得λ=-1.
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