资料简介
6.3.1平面向量基本定理6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
一二一、平面向量基本定理1.思考(1)如图,已知向量e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,给定向量a,请将a分解为与e1,e2平行的两个向量.
一二
一二(2)既然a可以分解成与e1,e2平行的两个向量,那么a是否可以用含有e1,e2的式子表示出来?(3)a=λ1e1+λ2e2中的一对实数λ1、λ2是否唯一?提示由作图中分解结果的唯一,决定了两个分解向量的唯一.由共线向量定理可知,有且只有一个实数λ1,使得=λ1e1成立,同理λ2也唯一,即一组数λ1、λ2唯一确定.即任一向量a都可以唯一表示成λ1e1+λ2e2的形式.
一二2.填空:平面向量基本定理
一二3.做一做下列说法正确的是()A.平面内的任一向量a,都可以用平面内的两个非零向量e1,e2线性表示B.当a与两个不共线的非零向量e1,e2之一平行时,a不能用e1,e2线性表示C.零向量可以作为基底中的向量D.平面内的基底是不唯一的答案:D解析:根据平面向量基本定理可知,只要是不共线的两个向量就可以作为基底,因此基底是不唯一的.
一二二、平面向量的正交分解及坐标表示1.思考(1)我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?提示如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj.
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一二2.填空(1)平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.(2)平面向量的坐标表示①基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.②坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做向量a在x轴上的坐标,y叫做向量a在y轴上的坐标.③坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示.④特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
一二3.做一做在平面直角坐标系中,若i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,且a=2i-6j,b=5j,c=-4i,则向量a,b,c的坐标分别是,,.答案:(2,-6)(0,5)(-4,0)
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练对平面向量基本定理的理解例1给出下列命题:①若向量e1,e2不共线,则空间中的任一向量a均可表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R);②若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2线性表示;③若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式;④若向量e1,e2是一组基底,则e1+e2与e1-e2也可以作为一组基底.其中正确命题的序号是.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:④解析:①错误.当e1,e2不共线时,平面向量可用e1,e2唯一地线性表示,但空间中的向量则不一定.②错误.零向量也可以用一组基底来线性表示.③错误.当e1,e2共线时,平面内的有些向量可以表示为λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,有些向量则不可以.④正确.当e1,e2不共线时,e1+e2与e1-e2一定不共线,可以作为基底.反思感悟平面向量基本定理的四个要点①不共线的向量e1,e2;②平面内的任意向量a;③存在唯一一对实数λ1,λ2;④a=λ1e1+λ2e2.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1如图,设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,有下列向量组:.其中可作为该平面内的其他向量的基底的是()A.①②B.①③C.①④D.③④答案:B
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练平面向量基本定理的应用例2在△ABC中.分析根据平面向量基本定理,结合向量的三种线性运算进行求解.
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探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.
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探究一探究二探究三思维辨析随堂演练向量的坐标表示例3(1)已知i,j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,a=3i-2j,b=-i+5j,求向量a+4b的坐标.(2)已知边长为2的正三角形ABC,顶点A为坐标原点,AB边在x轴上,点C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量的坐标.分析(1)将a+4b先用i,j表示,再转化为坐标的形式;(2)先求出点A,B,C,D的坐标,再根据点的坐标与向量坐标的关系求出向量坐标.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)因为a=3i-2j,b=-i+5j,所以a+4b=(3i-2j)+4(-i+5j)=3i-2j-4i+20j=-i+18j,因此向量a+4b的坐标为(-1,18).(2)如图,正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos60°,2sin60°),
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟求平面向量坐标的方法(1)若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标即为(x,y).(2)向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标,只有当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.(3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.
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探究一探究二探究三思维辨析随堂演练巧用直线的向量参数方程式解题
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探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:C
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.设{e1,e2}是平面内一个基底,则()A.零向量不能用e1,e2表示B.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在该平面内C.对平面内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对D.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0答案:D解析:由平面向量基本定理可知D项正确,这是由于0=0e1+0e2,而λ1,λ2是唯一的,所以λ1=λ2=0.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练2.已知=(-2,4),则下面说法正确的是()A.点A的坐标是(-2,4)B.点B的坐标是(-2,4)C.当B是原点时,点A的坐标是(-2,4)D.当A是原点时,点B的坐标是(-2,4)答案:D解析:由任一向量的坐标的定义可知,当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4).
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:A4.已知e1,e2不共线,且a=ke1-e2,b=e2-e1,若{a,b}不能作为基底,则k等于.答案:1
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:3
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