资料简介
6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例
一二一、向量在平面几何中的应用1.思考(1)平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图,为了表示两条对角线所在向量,如何选择基底?怎样表示?
一二(3)观察思考(2)中①②两式的特点,你能发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗?即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
一二2.填空(1)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.(2)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;③把运算结果“翻译”成几何关系.(3)平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.这一结论,可以用向量表示为:|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).
一二3.做一做(1)已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形(2)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别是,.
一二
一二二、向量在物理中的应用1.填空(1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向量.(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法.(3)利用向量方法解决物理问题的基本步骤:①问题转化,即把物理问题转化为数学问题;②建立模型,即建立以向量为载体的数学模型;③求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等;④回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.
一二2.做一做(1)已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)(2)速度|v1|=10m/s,|v2|=12m/s,且v1与v2的夹角为60°,则v1与v2的合速度的大小是()A.2m/sB.10m/s
一二答案:(1)D(2)D解析:(1)由已知F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2).(2)∵|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1·v2+|v2|2=100+2×10×12cos60°+144=364,
探究一探究二思维辨析随堂演练向量在平面几何中的应用角度1平行或共线问题
探究一探究二思维辨析随堂演练反思感悟证明A,B,C三点共线的步骤(1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线.(2)说明两向量有公共点.(3)下结论,即A,B,C三点共线.
探究一探究二思维辨析随堂演练变式训练1如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交于点O,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.求证:HG∥EF.
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探究一探究二思维辨析随堂演练角度2垂直问题例2如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF.
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探究一探究二思维辨析随堂演练变式训练2如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.
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探究一探究二思维辨析随堂演练角度3长度问题例3如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.分析本题是求线段长度的问题,它可以转化为求向量的模来解决.
探究一探究二思维辨析随堂演练反思感悟在解决求长度的问题时,可利用向量的数量积及模的知识,解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决.
探究一探究二思维辨析随堂演练变式训练3已知△ABC,∠BAC=60°,AB=2,AC=3,则BC的长为()答案:B
探究一探究二思维辨析随堂演练角度4夹角问题例4已知矩形ABCD,AB=,AD=1,E为DC上靠近D的三等分点,求∠EAC的大小.分析可建立直角坐标系,通过坐标运算运用夹角公式求解.
探究一探究二思维辨析随堂演练反思感悟利用平面向量解决几何中的夹角问题时,本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解,这类问题也有两种方向,一是利用基底法,二是利用坐标运算.在求解过程中,务必注意向量的方向.
探究一探究二思维辨析随堂演练延伸探究本例中,条件不变,试问:在BC上是否存在点M,使得∠EAM=45°?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.
探究一探究二思维辨析随堂演练向量在物理中的应用角度1用向量解决力学问题例5如图所示,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.(1)求|F1|,|F2|随θ角的变化而变化的情况;(2)当|F1|≤2|G|时,求θ角的取值范围.
探究一探究二思维辨析随堂演练反思感悟运用向量解决力的合成与分解时,实质就是向量的线性运算,因此可借助向量运算的平行四边形法则或三角形法则进行求解.
探究一探究二思维辨析随堂演练变式训练4一个物体受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用处于平衡状态,已知F1,F2成60°角,且|F1|=3N,|F2|=4N,则F1与F3夹角的余弦值是.
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探究一探究二思维辨析随堂演练角度2用向量解决速度问题例6在风速为km/h的西风中,飞机以150km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.分析解本题首先根据题意作图,再把物理问题转化为向量的有关运算求解.
探究一探究二思维辨析随堂演练解:设ω=风速,va=有风时飞机的航行速度,vb=无风时飞机的航行速度,va=vb+ω.如图所示.反思感悟运用向量解决物理中的速度问题时,一般涉及速度的合成与分解,因此应充分利用三角形法则与平行四边形法则将物理问题转化为数学中的向量问题,正确地作出图形解决问题.
探究一探究二思维辨析随堂演练变式训练5一船以8km/h的速度向东航行,船上的人测得风自北方来;若船速加倍,则测得风自东北方向来,求风速的大小及方向.解:分别取正东、正北方向上的单位向量i,j为基底,设风速为xi+yj.依题意第一次船速为8i,第二次船速为16i.
探究一探究二思维辨析随堂演练渡河问题中忽略水流速度而致错典例一条河宽为8000m,一船从岸边的点A出发航行垂直到达河正对岸的B处,船在静水中的速度为20km/h,水速为12km/h,则船到达B处所需时间为分钟.解:因为v实际=v船+v水=v1+v2,|v1|=20,|v2|=12,故该船到达B处所需的时间为30分钟.易错警示本题容易误将船在静水中的速度当作船的实际速度导致错误,事实上,船行驶的实际速度是船在静水中的速度与水速的合成,因此应借助平行四边形法则或三角形法则求出其实际速度,再解决相关问题.
探究一探究二思维辨析随堂演练答案:D
探究一探究二思维辨析随堂演练答案:(-3,1)或(-1,-3)
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探究一探究二思维辨析随堂演练解析:如图,以A为坐标原点,AD,AB所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
探究一探究二思维辨析随堂演练4.在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上,取点F,E,使BE=DF(如图).用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形.
探究一探究二思维辨析随堂演练5.在长江南岸某渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船在静水中的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?
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