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8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课后篇巩固提升基础巩固1.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积的比值为( ) A.1B.C.D.答案D解析设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径为r,高都为h,由已知得2Rh=rh,∴r=2R,V柱∶V锥=πR2h∶πr2h=3∶4,故选D.2.若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于( )A.4B.8C.8D.8答案B解析设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4πR2=4π,∴R=1.∵正方体内接于球,∴x=2R=2,∴x=,∴S正=6x2=6×=8.3.一个正方体表面积与一个球表面积相等,那么它们的体积比是( )A.B.C.D.答案A解析设正方体的棱长为a,球的半径为R,由6a2=4πR2得.4.
(2015全国Ⅰ高考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B解析设底面圆半径为R,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴·2πR=8,∴R=.∴体积V=·πR2h=×π××5.∵π≈3,∴V≈(尺3).∴堆放的米约为≈22(斛).5.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )A.πB.4πC.4πD.6π答案B解析如图,设截面圆的圆心为O',M为截面圆上任一点,则OO'=,O'M=1,∴OM=,即球的半径为,∴V=π()3=4π.
6.圆锥的高h和底面半径r之比h∶r=2∶1,且圆锥的体积V=18π,则圆锥的表面积为( )A.18πB.9(1+2)πC.9πD.9(1+)π答案D解析∵圆锥的高h和底面半径r之比h∶r=2∶1,∴h=2r,又圆锥的体积V=18π,即πr2h==18π,解得r=3.∴h=6,母线长为l==3,则圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×3+π×32=9(1+)π.7.已知正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6,则该棱柱外接球的表面积为( )A.21πB.42πC.84πD.84答案C解析如图,M,N为上下底面正三角形的中心,O为MN的中点,即外接球球心.∵正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6,AM==2,OM=3,球半径R=OA=,该棱柱外接球的表面积为S=4π×()2=84π.8.圆柱形容器内盛有高度为8的水,若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是 . 答案4
解析设球的半径为r,则圆柱形容器的水高为6r(放置球后),容积为πr2×6r=6πr3,高度为8的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3=4πr3,由题意得6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4.9.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为 . 答案解析作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=(32++42)×7=.10.已知一个圆柱的轴截面为正方形,其侧面积为S1,与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为S2,则的值为 . 答案解析设圆柱的底面圆的半径为r,则高为2r,则圆锥母线长为r,所以S1=2πr×2r=4πr2,S2=π×r×r=πr2,所以.11.圆柱的体积为π,底面半径为,若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上,则该球的体积为 .
答案解析设圆柱的高为h,∵圆柱体积为π,底面半径为,∴π××h=π,解得h=1,设球半径为R,则(2R)2=()2+12,即4R2=4,解得R=1,∴球的体积为πR3=π.12.一个球内切于底面半径为,高为3的圆锥内,则内切球半径是 ;内切球与该圆锥的体积之比为 . 答案1 解析设球的半径为r,则对圆锥轴截面运用等面积法可得×2×3=(2+2×2)r,∴r=1,内切球与该圆锥的体积之比为.13.如图,一个几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成,且圆柱的高与底面半径相等.若圆柱与圆锥的侧面积相等,则圆锥与圆柱的高之比为 . 答案解析设圆柱和圆锥的底面半径为R,则圆柱的高h1=R,圆锥的母线长为l,因为圆柱与圆锥的侧面积相等,所以2πR×R=πR×l,解得l=2R,得圆锥的高为h2=R,所以圆锥与圆柱的高之比为.14.(2019天津高考)已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为 . 答案
解析由底面边长为,可得OC=1.设M为VC的中点,O1M=OC=,O1O=VO,VO==2,∴O1O=1.V柱=π·O1M2·O1O=π×2×1=.15.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.16.如图所示,在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求该圆柱的体积及表面积.
解设圆柱的底面半径为r,高为h'.易知圆锥的高h==2.又h'=,∴h'=h,∴,∴r=1.故圆柱的体积V=πr2h'=π,S表=2S底+S侧=2πr2+2πrh'=2π+2π×=(2+2)π.能力提升1.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,大概意思如下:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为2尺8寸,盆底直径为1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸,则平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺等于10寸)( )A.3寸B.4寸C.5寸D.6寸答案A解析作出圆台的轴截面如图所示:由题意知,BF=14寸,OC=6寸,OF=18寸,OG=9寸.即G是OF的中点,∴GE为梯形OCBF的中位线,∴GE==10(寸).即积水的上底面半径为10寸.∴盆中积水的体积为π×(100+36+10×6)×9=588π(立方寸),又盆口的面积为142π=196π(平方寸),∴平均降雨量是=3(寸),即平均降雨量是3寸.2.如图所示,半径为R的半圆内(其中∠BAC=30°)的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一个几何体,则该几何体的表面积为 ,体积为 . 答案πR2 πR3
解析如图所示,过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得∠BCA=90°,又∠BAC=30°,AB=2R,∴AC=R,BC=R,CO1=R,∴=π×R×R=πR2,=π×R×R=πR2,∴S几何体表=S球+πR2,∴旋转所得到的几何体的表面积为πR2.又V球=πR3,∴V几何体=V球-()=πR3-×AB×π×CπR3-πR3.3.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.解取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E.连接CO1,CE,如图.
则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SC⊥EC.∵AB=3,∴O1C=3.在Rt△SO1C中,SC=2,∴SO1=.在Rt△SCE中,Rt△SCE∽Rt△SO1C,∴SC2=SO1·SE,∴SE==4.∴球半径R=2.∴球的表面积为S=4πR2=4π·(2)2=48π.
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