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6.4 平面向量的应用6.4.1 平面几何中的向量方法6.4.2 向量在物理中的应用举例课后篇巩固提升基础巩固1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=( ) A.-B.C.0D.答案B解析如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴=(-3,-4),=(3,-4).又∠BDC为的夹角,∴cos∠BDC=.2.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为( )A.40NB.10NC.20ND.N答案B解析对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10N.
3.河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( )A.10m/sB.2m/sC.4m/sD.12m/s答案B解析由题意知|v水|=2m/s,|v船|=10m/s,作出示意图如图.∴|v|==2(m/s).4.(多选题)已知O是四边形ABCD内一点,若=0,则下列结论错误的是( )A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点答案ABC解析由=0知,=-().设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点.5.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P在线段AB的中垂线上,则x= . 答案解析设AB的中点为M,则M=(x-1,-1),由题意可知=(-4,-3),,则=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=.6.一个物体在大小为10N的力F的作用下产生的位移s的大小为50m,且力F所做的功W=250J,则F与s的夹角等于 .
答案解析设F与s的夹角为θ,由W=F·s,得250=10×50×cosθ,∴cosθ=.又θ∈[0,π],∴θ=.7.如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.证明 =()·()====-|2+|2.因为CA=CB,所以-|2+|2=0,故AD⊥CE.8.某人骑车以速度a向正东方向行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速的大小和方向.解设实际风速为v,由题意可知,此人以速度a向正东方向行驶时,感到的风速为v-a,当速度为2a时感到的风速为v-2a.如图,设=-a,=-2a,=v.∵,∴=v-a,这就是速度为a时感到的由正北方向吹来的风速.
∵,∴=v-2a,这就是速度为2a时感到的由东北方向吹来的风速,由题意知∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,∴△POB为等腰直角三角形,∴∠APO=45°,||=||=|a|,即|v|=|a|.∴实际风速的大小是|a|,为西北风.能力提升1.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则的值为( )A.-B.C.-D.答案A解析因为3+4+5=0,所以3+4=-5,所以9+24+16=25.因为A,B,C在圆上,所以||=||=||=1.代入原式得=0,所以=-(3+4)·()=-(3+4-3-4)=-.2.一条渔船距对岸4km,以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8km,则河水的流速是 km/h. 答案2解析如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.
由图知,||=4,||=8,则∠AOB=60°.又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan60°=2.即河水的流速是2km/h.3.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),=(2,-2).设=λ,则=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又=(-1,2),由题设,所以=0,所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=.所以.所以.又=(1,0),所以cos∠ADB=,cos∠FDC=,又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.4.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点Q从Q0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设P,Q在t=0s时分别在P0,Q0处,当时所需的时间t为多少秒?解e1+e2=(1,1),|e1+e2|=,其单位向量为;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=,其单位向量为.依题意知,||=t,||=t,∴=|=(t,t),=|=(3t,2t),由P0(-1,2),Q0(-2,-1),得P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),∴=(-1,-3),=(2t-1,t-3),∵,∴=0,即2t-1+3t-9=0,解得t=2.即当时所需的时间为2s.
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