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新教材人教版高中数学必修第二册分层作业5《向量的数量积》(含解析)

2022-08-19
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课时分层作业(五) 向量的数量积(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于( )A. B. C．1＋ D．2B [a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos60°＝1＋＝.]2．已知单位向量a，b的夹角为，那么|a＋2b|＝( )A．2B.C．2D．4B [|a|＝|b|＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×1×1×＋4×1＝7，∴|a＋2b|＝.]3．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )A．4B．3C．2D．0D [∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c，∴a·c＝0，b·c＝0，c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.]4．已知平面向量a，b是非零向量，|a|＝2，a⊥(a＋2b)，则向量b在向量a方向上的投影为( )A．1B．－1C．2D．－2B [因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝|a|2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，所以a·b＝－2，所以向量b在向量a方向上的投影为＝＝－1.]5．已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余弦值为( )5 A.B.C.D.C [|a－2b|＝|a＋b|⇒(a－2b)2＝(a＋b)2⇒a·b＝b2⇒cos〈a，b〉＝＝＝.]二、填空题6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ为45°，则向量a在向量b上的投影为________． [由已知得向量a在向量b上的投影|a|cosθ＝3×＝.]7．已知向量|a|＝，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________.5 [|a|2＝5，|a＋b|＝5，∴|a＋b|2＝50，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝50，∴5＋|b|2＋20＝50，∴|b|＝5，故答案为5.]8．若a，b均为非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________． [由题知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即|a|2－2b·a＝|a|2－2|a||b|cosθ＝0，|b|2－2b·a＝|b|2－2|a||b|cosθ＝0，故|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，所以|a|2－2|a||a|cosθ＝0，故cosθ＝，因为0≤θ≤π，故θ＝.]三、解答题9．如图所示，在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°.求：(1)·；(2)·；(3)·.[解] (1)·＝||2＝9；5 (2)·＝－||2＝－16；(3)·＝||||cos(180°－60°)＝4×3×＝－6.10．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.(1)求|b|；(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．[解] (1)因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，所以cosθ＝＝，又θ∈[0，π]，故θ＝.[等级过关练]1．已知平面向量a，b都是单位向量，若b⊥(2a－b)，则a与b的夹角等于( )A.B.C.D.C [设向量a，b的夹角为θ，∵b⊥(2a－b)，∴b·(2a－b)＝2a·b－b2＝2×1×1×cosθ－12＝0，解得cosθ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝，5 即a与b的夹角为，故选C.]2．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·等于( )A．2B.C.D.D [·＝||||cos∠DAC＝||cos＝||sin∠BAC＝||sinB＝||sinB＝||＝.]3．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b|＜|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的序号是________．①③④ [根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，所以|a|－|b|＜|a－b|成立，③正确；④正确．故正确命题的序号是①③④.]4．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________.5或－8 [因为3a＋mb＋7c＝0，5 所以3a＋mb＝－7c，所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，即9＋m2＋6ma·b＝49，又a·b＝|a||b|cos60°＝，所以m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.]5．已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.(1)求a与b之间的夹角θ；(2)求向量a在a＋b上的投影．[解] (1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9，即16－4a·b－3＝9，∴a·b＝1，∴cosθ＝＝.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7，即|a＋b|＝.设a与a＋b的夹角为α，则向量a在a＋b上的投影为|a|cosα＝|a|×＝＝＝＝.5 查看更多

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