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课时分层作业(十四) 余弦定理、正弦定理的应用举例(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( )A．12m B．8mC．3mD．4mD [由题意知，∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，＝，即AB＝＝＝4.]2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )A.nmile/hB．34nmile/hC.nmile/hD．34nmile/hA [如图所示，在△PMN中，＝，10
∴MN＝＝34，∴v＝＝nmile/h.]3．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( )A．28海里/时 B．14海里/时C．14海里/时D．20海里/时B [如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在△ABC中，AC＝10×2＝20海里，AB＝12海里，∠BAC＝120°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝784，∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小时．]4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为( )A．20mB．30mC．40mD．60mC [如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20，10
在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．]5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为( )A．15mB．20mC．25mD．30mD [设建筑物的高度为hm，由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝，①cos∠PBC＝.②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30m．]二、填空题6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长千米． [如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.10
在△ABC中，＝，∴AC＝＝＝(千米)．]7．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为km. [在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝(km)．]8．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝4dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点dm的C处截住足球．7 [设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC＝xdm，由题意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝.∴AC＝17－2x＝7(dm)或AC＝－(dm)(舍去)．∴该机器人最快可在线段AD上距A点7dm的点C处截住足球．]10
三、解答题9．在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．[解] ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理有＝，∴BD＝CD·＝a·＝a，在△ADB中，∵AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝a2＋2－2×a×a×＝a2.∴AB＝a.∴蓝方这两支精锐部队的距离为a.10．岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛A正南方向B10
处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10海里的速度前往拦截．(1)问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．[解] (1)根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°.在△ABC中，由＝得AB＝＝＝＝5.所以海监船接到通知时，距离岛A5海里．(2)设海监船航行时间为t小时，则BD＝10t，CD＝10t，又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，所以300t2＝100＋100t2－2×10×10t·，所以2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)．所以CD＝10，所以BC＝CD，所以∠CBD＝(180°－120°)＝30°，所以∠ABD＝75°＋30°＝105°.所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时．(或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时)[等级过关练]1．如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C10
的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60m，则河流的宽度BC是( )A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)mC [由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60m，∴AC＝120m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝＝＝120(－1)(m)．]2．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.分钟 B.分钟C．21.5分钟D．2.15小时A [如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100＝282＋.当t＝时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝分钟．]10
3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为小时.1 [设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化简得x2－40x＋700＝0，|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即图中的CD＝20(千米)，故t＝＝＝1(小时)．]4．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距anmile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应沿方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了nmile.北偏东30° a [如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BC＝tv，AC＝tv，又B＝120°，则由正弦定理＝，得＝，∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，10
∴BC＝AB＝anmile，∴AC＝＝＝a(nmile)．]5．某省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．[解] 方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d.②第一步：计算AM.由正弦定理AM＝；第二步：计算AN.由正弦定理AN＝；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝.方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d.②第一步：计算BM.由正弦定理BM＝；第二步：计算BN.由正弦定理BN＝；10
第三步：计算MN.由余弦定理MN＝.10
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