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8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定（用时45分钟）【选题明细表】知识点、方法题号判定定理的理解及应用1,3,6,7二面角2,4,9综合应用5,8,10,11,12基础巩固1．在长方体的侧面中，与平面ABCD垂直的平面有（）个A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】如图
在长方体中，侧棱与底面都是垂直的，所以侧面与底面ABCD垂直.平面、平面、平面、平面均与平面ABCD垂直.故选：D2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是（）A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定【答案】D【解析】如图所示，在正方体中，二面角与二面角的两个半平面分别对应垂直，但是这两个二面角既不相等，也不互补，所以这两个二面角不一定相等或互补.例如：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是，所以这两个二面角不一定相等或互补.3．垂直于正方形所在平面，连接，，，，，则下列垂直关系正确的个数是（）①面面②面面③面面④面面A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】证明：对于①,因为底面为正方形
所以由题意可知平面所以,而所以平面又因为平面所以平面平面,所以①正确;对于②,因为故由①可得平面,而平面所以平面平面,所以②正确③④错误,不垂直.综上可知,正确的为①②故选：B4．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是( )A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定【答案】C【解析】∠EPF=60°就是两个平面α和β的法向量的夹角，它与二面角的平面角相等或互补，故二面角的平面角的大小为60°或120°．故选：C．5．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图1），将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（ ）
①AC∥平面BEF；②B、C、E、F四点可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】对①，在图②中，连接交于点，取中点，连接MO，易证AOMF为平行四边形，即AC//FM，所以AC//平面BEF，故①正确；对②，如果B、C、E、F四点共面，则由BC//平面ADEF，可得BC//EF，又AD//BC，所以AD//EF，这样四边形ADEF为平行四边形，与已知矛盾，故②不正确；对③，在梯形ADEF中，由平面几何知识易得EFFD，又EFCF，∴EF平面CDF，即有CDEF，∴CD平面ADEF，则平面ADEF平面ABCD，故③正确；对④，在图②中，延长AF至G，使得AF=FG，连接BG，EG，易得平面BCE平面ABF，BCEG四点共面．过F作FNBG于N，则FN平面BCE，若平面BCE平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故④错误．故选：C．
6．设α，β是空间内两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．【答案】①③④⇒②【解析】将①③④作为条件，因为所以或，又因为，所以故①③④⇒②；7．如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上异于点A,,直线PA垂直于圆O所在的平面,点M是线段PB的中点有以下四个命题：①∥平面；②∥平面；③平面；④平面平面．其中正确的命题的序号是______．【答案】①④【解析】对①,因为为的中点,故为三角形的中位线,故∥平面.故①正确.
对②,因为平面,故②错误.对③,因为,故不会垂直于,故不垂直于平面.故③错误对④,因为,面,故.又.故平面,又平面,故平面平面.故④正确.故答案为①④8．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是CD的中点，PA底面ABCD，．（I）证明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角A—BE—P和的大小．【答案】（I）同解析（II）二面角的大小为【解析】（I）如图所示,连结由是菱形且知，△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以又所以又因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以而因此平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）由（I）知，平面PAB,平面PAB,所以又所以是二面角的平面角．在Rt△PAB中,．故二面角的大小为能力提升
9．在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为1，则二面角的平面角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知可得AD⊥DC又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角∵EF=（三角形ACD的中位线），BE=（正三角形BCD的高），BF=（等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）∴cos∠BEF=故选C．10．如图所示，正方形的边长为，已知，将△ABE沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：①与所成角的正切值为；②AB//CE；③；④平面平面，其中正确的命题序号为___________．
【答案】③④【解析】作出折叠后的几何体直观图如图所示：∵AB=a,BE=a,∴AE=a.∴.∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，在Rt△ABC中,,故①不正确；连结BD，CE，则CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，∴CE⊥AD，又BD∩AD=D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，∴CE⊥AB.故②错误．三棱锥B−ACE的体积.故③正确．∵AD⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，∴BC⊥AD，又BC⊥CD，∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.故答案为③④．11．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，求证：
（1）平面；（2）平面平面；（3）二面角的平面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1），..同理可证.平面.（2）由（1）知平面，平面，.∵四边形是正方形，.又，平面.又平面，∴平面平面.（3）由（1）知平面，平面，.又，平面.平面，.为二面角的平面角.在中，.∴二面角的平面角的大小为45°.素养达成
12．如图，矩形所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，是CD上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．【答案】（1）证明见解析.（2）存在，理由见解析.【解析】（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．
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