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第八章立体几何初步8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系一、基础巩固1．若直线平面，直线，则（）A．B．与异面C．与相交D．与没有公共点【答案】D【详解】若直线平面，直线，则或与异面，故与没有公共点2.空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为 ( )A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】D【详解】解：取中点，连接,
由已知得，又平面,所以平面，因此,3.已知直线l和平面α，若，，则过点P且平行于l的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，一定在平面α内D．有无数条，一定不在平面α内【答案】B【详解】假设过点P且平行于的直线有两条与，∴且，由平行公理得，这与两条直线与相交与点相矛盾.4.如图，在直三棱柱中，D为的中点，，，则异面直线BD与AC所成的角为（）A．B．C．D．
【答案】C【详解】如图，取的中点，连接，，则,所以即为异面直线与所成的角或其补角，由已知可得，三角形为正三角形，所以，所以异面直线与所成的角为.5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【详解】选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；选项D正确，由，便得，又，，即.6．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）
A．B．C．D．【答案】B【详解】取BC的中点D，连接D1F1，F1D,∴D1B∥DF1,∴∠DF1A或其补角就是BD1与AF1所成角,设BC＝CA＝CC1＝2，则AD，AF1，DF1,在△DF1A中，由余弦定理得cos∠DF1A，7.已知平面平面，，点，，直线，直线，直线，，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】如图所示：
由于，，，所以，又因为，所以，故A正确，由于，，所以，故B正确，由于，，在外，所以，故C正确；对于D，虽然，当不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，不一定垂直，所以D不正确；8．已知三条互不相同的直线和三个互不相同的平面，现给出下列三个命题：①若与为异面直线，，则；②若，，则；③若，则.其中真命题的个数为（）A．3B．2C．1D．0【答案】C【详解】①中，两平面也可能相交，故①错误；②中，与也可能异面，故②错误；③中，易知，又，所以由线面平行的性质定理知，同理，所以，故③正确.9.在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】如图，连结交于点，取的中点，连结，
因为点分布是的中点，所以，即异面直线与所成角是或是其补角，设，则底面边长，，同理，，中，，，所以，所以，即异面直线与所成角是.10.如果直线平面，那么直线与平面内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交【答案】D【详解】根据线面平行的定义，直线平面，则线面无公共点，对于C，要注意“无数”并不代表所有.11．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．B．
C．D．【答案】AD【详解】解：在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC，∴AB∥平面MNP，故A成立；对于B，若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N，∴AB与面MNP不平行，故B不成立；对于C，过M作ME∥AB，则E是中点，则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，∴AB与面MNP不平行，故C不成立；
对于D，连接CE，则AB∥CE，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立.12．在正方体中，，，分别为，，的中点，则（）A．B．平面C．异面直线与所成角的余弦值为D．点到平面的距离是点到平面的距离的2倍【答案】BCD【详解】由于，而与不垂直，因此异面直线与不能垂直，则A错误；
取的中点，连接，，由条件可知：，，所以平面，平面，又，，所以平面平面，又因为平面，所以平面，则B正确；异面直线与所成的角为或其补角，设正方体的棱长为2，则，，由余弦定理知，则C正确；对于D，连接，与交于(也是与平面的交点)，连接，设点与点到平面的距离分别为，，则，所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，则D正确.一、拓展提升13.如图，在正方体中，E，F，，分别为棱AD，AB，，的中点.求证：.
【答案】见解析【详解】证明：如图,在正方体中,取的中点M,连接BM,由题意得又∴四边形为平行四边形∴又,M分别为,的中点,则而∴∴四边形为平行四边形∴又
∴同理可得∴与的两边分别平行,且方向都相反∴.14.如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点.（1）判断直线与平面的位置关系.（2）判断直线与直线的位置关系.（3）若，，求与所成的角.【答案】（1）相交；（2）异面；（3）45°.【详解】解：（1）因为面，所以面，又面，所以直线与平面的位置关系是相交；（2）由（1）得直线与平面的位置关系是相交，又，所以直线与直线的位置关系是异面；（3）取的中点，连接，，则，，所以相交直线与所成的角，即为异面直线与所成的角.又因为，则.在中，由，所以，即异面直线与所成的角为45°.
15．在直三棱柱中，∠ABC=90°，AB=BC=1.（1）求异面直线与AC所成角的大小；（2）若直线与平面ABC所成角为45°，求三棱锥—ABC的体积.【答案】（1）；（2）．【详解】（1）在直三棱柱中，所以异面直线与AC所成角为（或其补角），又∠ABC=90°，AB=BC=1，所以，所以异面直线与AC所成角为；（2）在直三棱柱中，平面，所以直线与平面ABC所成角为，所以．，所以．
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