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第八章立体几何初步8.6.1-8.6.2直线与直线垂直、直线与平面垂直一、基础巩固1．已知直线，．若，则实数（）A．或B．或C．或D．或【答案】C【详解】若，则，解得或.2．设，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中不正确的一个是（）A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，，则【答案】D【详解】选项A．若，，则,正确.选项B．若，，则,正确.选项C．若，,则，正确.选项D.若，，则与可能平行，也可能异面，所以不正确.3．已知两条不重合的直线和两个不重合的平面和，则下列说法正确的为（）A．若，，则B．若，，则，为异面直线C．若，，则D．若，，，，则【答案】C【详解】
解：对于A，可能，故A不正确；对于B，，的位置可能是平行直线，可能是相交直线，也可能是异面直线，故B不正确；对于C，由垂直于同一平面的两条直线平行，得出，所以C正确；对于D，根据面面平行的判定定理可知，对应平面内的直线如果两条直线是相交的，则两个平面是平行的，故D不正确.4．已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列条件中能得出直线平面的是（）A．，其中B．C．D．【答案】D【详解】A中缺少条件“与相交”；B中，当时，与可能平行，可能相交，也可能；C中，与可能平行，可能相交，也可能.对于D选项，两条平行直线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面，D选项正确.5．在三棱锥中，，过作平面，为垂足，为的中点，则下列结论中肯定成立的是（）A．B．C．D．，，三点共线【答案】B【详解】平面，平面，，，点是的中点，，，平面，平面，，，故B正确；不能推出选项.
6．设m，n是两条不同的直线，是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（）①②③④A．①②B．①④C．②③D．②④【答案】C【详解】对①，若，则和可能相交，平行或在平面内，故①错误；对②，若，则由面面垂直的判定定理可得，故②正确；对③，若，则由线面垂直的性质可得，故③正确；对④，若，则和平行或异面，故④错误.7．如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】
取中点,连接,因为正三棱柱，所以为正三角形，所以,因为正三棱柱，所以平面平面，因此平面，从而四棱锥的体积为,8．如图，正方体的棱长为，下面结论错误的是（）A．平面B．平面C．异面直线与所成角为D．三棱锥体积为【答案】D【详解】A选项，在正方体中，，又平面，平面，所以
平面，即A正确；B选项，连接，，在正方体中，，，平面，平面，因为平面，平面，所以，，又，平面，平面，所以平面，因此；同理，又，平面，平面，所以平面；即B正确；C选项，因为，所以即等于异面直线与所成角，又，即为等边三角形，即异面直线与所成角为，故C正确；D选项，三棱锥的体积为.故D错；9．（多选）已知，，是三条直线，是一个平面，下列命题不正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】BC【详解】
对A，根据直线平行的传递性，故A正确；对B，垂直于同一直线的两个直线可以相交、平行、异面，故B错误；对C，平行同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故C错误；对D，垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确.10．（多选）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A．B．C．D．【答案】BCD【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图，由图形可知，，故A错误；由，四边形为平行四边形，所以，故B正确；因为,,所以平面,所以，故C正确；因为，而,所以，故D正确.11．（多选）如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点，且，则下列结论中正确的是（）
A．B．平面ABCDC．的面积与的面积相等D．三棱锥的体积为定值【答案】ABD【详解】由于，故平面，所以，所以A正确；由于，所以平面，故B正确；由于三角形和三角形的底边都是，而高前者是到的距离，后者是到的距离，这两个距离不相等，故C错误；由于三棱锥的底面三角形的面积为定值.高是点到平面也即点到平面的距离也是定值，故三棱锥的体积为定值.故D正确.12.(多选）已知边长为2的菱形ABCD中，，现沿着BD将菱形折起，使得，则下列结论正确的是（）A．
B．二面角的大小为C．点A到平面的距离为D．直线与平面所成角的正切值为【答案】ABC【详解】取BD的中点O，连接OA，OC，由菱形性质可知和都是等边三角形，，，又，平面，，故选项A正确；由，可知为二面角的平面角，由可知，又，，故选项B正确；点A到平面BCD的距离，故选项C正确；过点A作平面，垂足为，则M为OC的中点，所以，连接DM，则为直线AD与平面BCD所成的角，且，故，所以，故选项D错误.
一、拓展提升13．已知直线过点，且是直线的一个法向量，求直线的一般式方程.【答案】【详解】因为是直线的一个法向量，所以设直线的方程为.代入点，得，解得，所以直线的一般式方程为.14．如图，在底面为菱形的四棱锥中，，点在上，且
（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）【详解】（1）因为底面是菱形，，所以，在中，，由，可得.同理，，又所以平面.（2）作交于，由平面.则平面，作于，连结，则，即为所求二面角的平面角.
又，所以，，从而,所以.15．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面.（1）求证：；（2）若________，求点到平面的距离.在①；②二面角的大小为60°；③，这三个条件中，任选一个，补充在问题中，并加以解答.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【详解】（1）证明：∵底面为平行四边形，∴，∵在中，，∴为直角三角形，，又∵平面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴（2）由（1）可得，∵平面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴，①选条件，∴，设点到平面的距离为，则由可得，，解得，
即点到平面的距离为.②选条件二面角的大小为60°，∵，∴为二面角的平面角，∴，，，设点到平面的距离为，则由可得，，解得：，∴点到平面的距离为.③选条件，则，∴，∴，设点到平面的距离为，∴，解得，∴点到平面的距离为.
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