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数学人教版必修二8.5空间直线、平面的平行
新知导入直线与平面的位置关系中，平行是一种特殊的关系。如何判定它呢？在平面内找到一条直线与其平行且这条直线不在平面内。
观察如图（1），门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？新知讲解图（2）中，将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边DC转动，在转动过程中（AB离开桌面），DC的对边AB与桌面有公共点吗？边AB与桌面平行吗？
可以发现，无论门扇转动到什么位置，因为转动的一边与固定的一边总是平行的，所以它与墙面是平行的；硬纸板的边AB与DC平行，只要边DC紧贴桌面，边AB转动时就不可能与桌面有公共点，所以它与桌面平行。定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。补充：线线平行推线面平行
例一求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面。已知：如图，空间四边形ABCD中，E,F分别是AB、AD的中点。求证EF//平面BCD证明：连接BD∵AE=EB，AF=FD∴EF//BD又EF平面BCD,BD平面BCD∴EF//平面BCD
练习一如图，在直四棱柱ABCD—中，底面ABCD为菱形，E为中点。求证：//平面ACE解：设AC与BD交于点O，连接OE,∵底面ABCD是菱形，∴O为DB中点，又因为E是的中点，∴OE//,OE在平面AEC内，不在平面AEC内，所以//平面ACE
练习二如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=AD=2,点E为线段PD的中点。证明：PB//平面AEC证明：连接BD,交AC于点O,连接OE,如图所示，∵O是正方形ABCD对角线的交点，∴PB//OE，又OE在平面AEC内，PB不在平面AEC内，∴PB//平面AEC
用判定定理证明直线与平面平行的步骤（1）找：在平面内找到一条直线或作出一条直线与已知直线平行（2）证：证明已知直线与该直线平行（3）结论：由判定定理得出结论注：第一步“找”是证题关键，其常用方法由：①利用三角形中位线，梯形中位线性质②利用平行四边形的性质
线面平行性质：如图，已知a//α，aβ，α∩β=b证明：a//b证明：∵α∩β=b,∴bα又a//α∴a与b无公共点又αβ，bβ∴a//b定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
例二如图（1）所示的一块木料中，棱BC平行于面A’C’.（1）要经过面A’C’内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？解（1）如图（2），在平面A’C’内，过点P作直线EF,使EF//B’C’,并分别交棱A’B’,D’C’于点E,F.连接BE,CF,则EF,BE,CF就是应画的线。（2）因为棱BC平行于平面A’C’,平面BC’与平面A’C’相交于B’C’,所以BC//B’C’.由（1）知，EF//B’C’,所以EF//BC.而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以EF//平面AC。显然，BE,CF都与平面AC相交。
练习三已知a//α，b在α内，则直线a与b的位置关系是（）A平行B相交或异面C异面D平行或异面D
练习四如图所示，已知异面直线AB,CD都平行于平面α，且AB,CD在α的两侧。若AC,BD分别与α相交于M,N两点。求证AM/MC=BN/ND证明：如图所示，连接AD,交平面α于点P,连接PM,PN.因为CD//α，平面ACD∩α=PM.所以CD//PM,所以在△ACD中，有.同理，在△DAB中，有,所以.
总结利用线面平行的性质定理解题的步骤：在已知条件中有线面平行时，就设法应用该条件，即着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，也就是找已知直线的平行线．有时为了得到交线还需作出辅助平面.
例3求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么该直线与相交平面的交线平行．解：已知a,l是直线，α，β是平面。a//α，a//β，且α∩β=l.在平面α内取一点A,且使A∉l.∵a//α，∴A不属于a故点A和直线a确定一个平面γ.设γ∩α=m.同理，在平面β内任取一点B,且使B∉l则点B和直线a确定平面，设∩β=n∵a//α，aγ，γ∩α=m.∴a//m,同理a//n,则m//n.又m不含于β，n含于β，所以m//β.因为mα，α∩β=l,∴m//l又a//m,∴a//l.
延伸探究：若上题中的条件改为“α∩β=l,γ∩β=m,γ∩α=n,且l//m”。试判断直线l,m，n的位置关系，并说明理由。证明：如图，∵l//m，m含于γ，l不含于γ∴l//γ。又l含于α，α∩γ=n,∴l//n.又l//m∴m//n，即直线l,m，n互相平行。
一、如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’中（1）与AB平行的平面是______________________________（2）与AA’平行的平面是___________________________（3）与AD平行的平面是______________________________课堂小验平面A’B’C’D’、平面CC’DD’平面BB’CC’、平面CC’DD’平面BB’CC’、平面A’B’C’D’
二、判断下列命题是否正确，正确的在括号内画√，错误的画×（1）如果直线a//b,那么a平行于经过b的任何平面（）（2）如果直线a和平面α满足a//α，那么a与α内的任何直线平行（）（3）如果直线a,b和平面α满足a//α，b//α，那么a//b.()（4）如果直线a,b和平面α满足a//b,a//α，bα，那么b//α（）×××√
三、如图，已知梯形ABCD中，AD//BC,∠DAB=90°，AB=BC=2AD=4,四边形EDCF为矩形，DE=2，平面EDCF⊥平面ABCD求证：DF//平面ABE证明：如图，设CE∩DF=O,取BE的中点M,连接AM、OM,∵四边形EDCF为矩形，CE∩DF=O,∴O为CE中点，∵M为BE的中点∴OM//BC且OM=1/2BC∵AD//BC,AD=1/2BC∴OM//AD且OM=AD∴四边形ADOM为平行四边形，则AM//OD,即AM//DF∵AM在平面ABE内，DF不在平面ABE内，∴DF//平面ABE
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