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数学人教版必修二8.6空间直线、平面的垂直
新知导入前面我们认识了空间直线的平行关系，那么空间中的垂直又是什么样的呢?AD’C’B’A’DCB
YOURSITEHERE探究：如图在正方体ABCD-A’B’C’D’中，直线A’C’与直线AB,直线A’D’与直线AB都是异面直线，直线A’C’与A’D’相对于直线AB的位置关系相同吗？新知讲解不同
异面直线夹角：已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作a’//a，b’//b,我们把a’与b’所成角叫做异面直线a与b所成角（或夹角）如果两条异面直线夹角为90°，那我们就说这两条异面直线互相垂直。记作a⊥b当两条直线平行时规定所成角为0°。所以异面直线所成角范围0°≤α≤90°
想一想：在平面几何中，垂直于同一直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗？不成立反例如图。
练习一1.异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同.()2.异面直线a与b所成角可以是0°.()3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直.()X√X注意：1.异面直线所成的角的大小与O点的位置无关.2.当直线a与b所成角是0°时，两直线平行，即共面.
例一：如图，已知正方体ABCD-A’B’C’D’（1）哪些棱所在直线与直线AA’垂直？（2）求直线BA’与CC’所成角的大小（3）求直线BA’与AC所成角的大小解（1）棱AB,BC,CD,DA,A’B’,B’C’,C’D’,D’A’所在直线分别与AA’垂直。（2）因为ABCD-A’B’C’D’是正方体，所以BB’//CC’,因此∠A’BB’为直线BA’与CC’所成的角。又因为∠A’BB’=45°，所以直线BA’与CC’所成角等于45°。
（3）如图，连接A’C’,因为ABCD-A’B’C’D’是正方体，所以AA’//CC’且AA’=CC’,从而四边形AA’CC’是平行四边形，所以AC//A’C’。于是∠BA’C’为异面直线BA’与AC所成的角。连接BC’,易知△A’BC’是等边三角形，所以∠BA’C’=60°。从而异面直线BA’与AC所成角等于60°。
求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.(2)计算角：求角度，常利用三角形.(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
例二：如图在正方体ABCD-A’B’C’D’中，O’为底面A’B’C’D’的中心，求证：AO’⊥BD证明：如图，连接B’D’,∵ABCD-A’B’C’D’是正方体∴BB’//DD’,BB’=DD’∴四边形BB’DD’是平行四边形∴B’D’//BD∴直线AO’与B’D’所成角即为直线AO’与BD所成角连接AB’,AD’易证AB’=AD’又O’为底面A’B’C’D’的中心∴O’为B’D’的中点∴AO’⊥B’D’,AO’⊥BD，O’
例三如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度.解：取BC中点O,连接OE,OF，如图。∵E,F分别是AB,CD的中点，∴OE//AC且OE=1/2AC,OF//AC且OF=1/2BD,∴OE与OF所成的锐角就是AC与BD所成的角∵BD,AC所成角为60°，∴∠EOF=60°或120°∵BD=AC=2,∴OE=OF=1当∠EOF=60°时，EF=OE=OF=1,当∠EOF=120°时，取EF的中点M,连接OM,则OM⊥EF,且∠EOM=60°∴EM=,∴EF=2EM=
练习二如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中AB与CD的位置关系为（）A．相交B．平行C．既不相交，也不平行D．不能确定解：由题,则正方体的直观图如图所示,易知,AB与CD既不平行,也不相交,故选:C
练习三四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_______解：画出图如图所示，将AP平移到BE的位置，连接DE，则角DBE即是两条异面直线所成的角.由于三角形BDE为等边三角形，故两条异面直线所成的角为60°。
利用勾股定理证直线与直线垂直在棱长为4的正四面体ABCD中，求异面直线AB和CD所成的角解：取BC中点E,AC中点M,AD中点F,连接EM,MF,FE,FB,FC.MF//CD,EM//AB∴∠EMF即异面直线AB和CD所成的角或其补角MF=ME=2，EF=∴MF²+ME²=EF²∴∠EMF=90°∴异面直线AB和CD的夹角是90°。
练习四如图，在正方体中，N,M,P分别是A1B1,CC1，AD的中点，则异面直线D1N与MP所成角的大小是（）A90°B60°C45°D30°解：取BB1中点K,连接A1K,则A1K//D1N,取B1K的中点Q,连接MQ,PQ,则MQ//A1K,所以MQ//D1N,所以∠PMQ即为所求夹角。如图，设正方体棱长为4，由勾股定理易知，PQ²=PB²+BQ²=29，PM²=24，MQ²=5，所以PQ²=PM²+MQ²，所以∠PMQ=90°。
一、已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AD=2,AA1=1则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为________课堂小验二、已知点M、N分别为正方体ABCD-A’B’C’D’的棱A’B’与AA’的中点，平面DNM与平面ABCD的交线记为l,则l与C’M所成角的大小为______0
三、在正方体ABCD-A’B’C’D’中，直线AC’与B’D’的夹角是多少？解：连接A’C’与B’D’交于点E,取AA’中点F,连接EF,FE’.在△AA’C’中，EF//AC’∴∠FED’即为异面直线AC’和B’D’所成的角或其补角，设正方体棱长为a,则EF=1/2AC’=,ED’=,FD’=∴EF²+ED’²=FD’²，∴∠FED’=90°∴直线AC’和B’D’的夹角是90°FE
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