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人教必修二第十章10.3频率和概率的关系
问题导入问题一：抛掷一枚质地均匀的骰子，正面朝上是偶数的概率是多少？设“正面朝上是偶数”为事件A，则P（A）=3/6=0.5问题二：抛掷一枚质地不均匀的骰子，正面朝上是偶数的概率是多少？由于硬币质地不均匀，所以每个基本事件发生不是等可能的，那么这个事件的概率无法用古典概型公式进行计算。那么今天，我们来学习一种新的计算概率的方法。
新知探究（一）——频率的稳定性思考一：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，你能计算事件A发生的概率吗？
新知探究（一）——频率的稳定性思考二：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”，你能设计一个统计次数并计算频率的试验步骤吗？第一步：每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数，计算频率；第二步：每4名同学为一组，相互比较试验结果；第三步：各组统计事件A发生的次数，计算事件A发生的频率，并利用表10.3-1进行统计。
新知探究（一）——频率的稳定性
新知探究（一）——频率的稳定性思考三：比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事假A发生的频率，各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这样的情况？
新知探究（一）——频率的稳定性利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A发生的频数和频率如下表（10.3-2）所示：序号n=20n=100n=500频数频率频数频率频数频率1120.6560.562610.522290.45500.502410.4823130.65480.482500.5470.35550.552580.5165120.6520.522530.506
新知探究（一）——频率的稳定性用折线图表示频率的波动情况（10.3-1）
新知探究（一）——频率的稳定性我们发现：（1）试验次数n相同，但频率f可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性。（2）从整体来看，频率在概率0.5附近波动。当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小。但试验次数多的波动幅度并不全部比次数少的小，只是波动幅度小的可能性大。
新知探究（一）——频率的稳定性思考四：通过上述试验，你认为频率与概率有什么关系？大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性。一般地，随着试验次数n的增大频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)。我们称频率的这个性质为频率的稳定性。因此，我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A)。
新知探究（一）——频率的稳定性事件的概率一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为P(A).由定义可得概率P(A)满足：
新知探究（一）——频率的稳定性注意点：1.随机事件A的概率范围必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况.因此，随机事件发生的概率都满足：0≤P(A)≤1
例题讲解例1、新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数。通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.（1）分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001）（2）根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？
例题讲解
例题讲解例2、一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生的甲获胜，事件B发生则乙获胜。判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率相等。在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次。据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的。你更支持谁的结论？为什么？
例题讲解解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小。相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近。而玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别为0.3、0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的。因此，应该支持甲对游戏公平性的判断。
例题讲解例3、某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：(1)求各组的频率；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．分组频数频率[500,900)48[900,1100)121[1100,1300)208[1300,1500)223[1500,1700)193[1700,1900)165[1900，＋∞)42
例题讲解解：(1)频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1500小时的频率是600/1000＝0.6.即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.
方法总结估算法求概率(1)在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值．(2)在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，且这个常数就是概率．
新知探究（一）——频率的稳定性思考五：气象工作者有时用概率预报天气，如果气象台预报“明天降水概率是90%，如果您明天要出门，最好携带雨具”。如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报的不准确。那么如何理解“降水概率是90%”？降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的。对“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨。
新知探究（一）——频率的稳定性思考六：该如何评价预报的结果是否准确？只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性。如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天（天数较多）里，大约有90%确实下雨，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确。
小试牛刀1、（1）做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率是m/n;（2）当试验次数越来越多时，事件A发生的频率越来越稳定；（3）概率是反映事件发生的可能性大小，但事件的频率可用来近似估计概率；（4）频率与试验次数无关，概率与试验次数有关。以上说法正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：（1）（2）（3）正确，（4）错误。C
小试牛刀2、假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如右图所示：（1）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（2）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200个小时，试估计该产品是甲品牌的概率。
小试牛刀解：（1）甲品牌产品寿命小于200小时的概率为（5+20）/100=0.25，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为0.25.（2）根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75+70=145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75/145=15/29，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是用甲品牌的概率为15/29.
小试牛刀总结：此图是频数的条形统计图，每个小矩形的高是频数，则频数/总数即事件发生的频率，频率可作为概率的近似值。
新知探究（二）——随机模拟思考七：通过做大量重复的试验来计算事件发生的频率,再由频率的稳定值估计概率,是十分费时费力的.有没有其他方法可以代替试验呢?我们设想通过用计算机模拟试验来解决这些矛盾.下面我们利用计算机模拟试验来完成下列试验：抛掷一枚质地均匀的硬币的试验。我们让计算机产生取之于集合{0，1}的随机数，用0表示反面朝上，用1表示正面朝上。这样不断产生0，1两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验。
新知探究（二）——随机模拟我们用下表表示试验结果，其中n为试验次数，nA为摸到红球的频数，fnA为摸到红球的频率。
新知探究（二）——随机模拟根据上表画出下列频率折线图，从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4。
新知探究（二）——随机模拟随机模拟方法或蒙特卡罗方法对于古典概型,我们可以将随机试验中所有基本事件编号,利用计算器或计算机产生随机数,从而获得试验结果.这种用计算器或计算机模拟试验的方法,称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.
新知探究（二）——随机模拟思考八：你认为如何产生随机数？这样的方法是统计抽样中的什么方法？可以利用计算器或者计算机产生随机数。抽签法。
新知探究（二）——随机模拟思考九：要产生1～25之间的随机数，你有什么方法？（1）将25个大小形状相同的小球分别标1,2,…，24,25，（2）放入一个袋中，充分搅拌（3）从中摸出一个球，这个球上的数就是随机数。
新知探究（二）——随机模拟由此，可总结出随机数产生的步骤如下：(1)标号：把n个质地相同的小球分别标上1，2，3，…，n.(2)搅拌：放入一个袋中，把它们均匀搅拌.(3)摸取：从中摸出一个球.这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数.
新知探究（二）——随机模拟思考十：你认为随机模拟试验的步骤是什么？随机模拟试验的步骤(1)设计概率模型(2)进行模拟试验(3)统计试验结果思考十一：你认为随机模拟方法或蒙特卡罗法的最大优点是什么?不需要对试验进行具体操作,就可以得到试验结果。
例题讲解例3、从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在，二月...,十二月是等可能的。设事件A=“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率。解：方法一：根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成是可重复试验。
例题讲解因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号1，2，...m,12的12个球，这些球除编号外没有什么差别。有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验。如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了。重复以上模拟实验20次，就可以统计出事件A发生的概率。
例题讲解方法二：利用电子表格软件模拟试验。在A1，B1，...,F1单元格分别输入“=RANDBETWEEN（1，12）”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟实验。选中A1，B1，...,F1单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第29行，相当于做20次重复试验。统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值。
例题讲解下表是模拟20次的结果。事件A发生了14次，事件A的概率的估计值为0.70，与事件A的概率（0.78）相差不大。
例题讲解例4、在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛。假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，。利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率。
例题讲解解：设事件A=“甲获得冠军”，事件B=“单局比赛甲胜”，则P(B)=0.6.用计算机产生1~5之间是的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组。例如：产生20组随机数：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354
例题讲解相当于做了20次重复试验。其中事件A发生了13次，对应的数组分别是423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，用频率估计事件A的概率的近似值为13/20=0.65.
小试牛刀1、通过模拟试验,产生了20组随机数:68303013705574307740442278842604334609526807970657745725657659299768607191386754如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,表示恰有三次击中目标,则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为.解析:表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754,共5组数,而随机数总共20组,所以所求的概率约为5/20=25%.答案:25%
课堂小结课本P258习题10.3第3、4、6题作业布置1、频率和概率的关系；2、随机模拟。
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