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新教材人教版高中数学必修第二册教案：6.4.1《平面几何中的向量方法》

2022-08-18
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格致课堂【新教材】6.4.1平面几何中的向量方法教学设计（人教A版）向量概念有明确的几何背景：有向线段，可以说向量概念是从几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些几何问题，例如利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。课程目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法；2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神.数学学科素养1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；2.数学运算：坐标运算证明几何问题；3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；4.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事物之间是可以相互转化的.重点：体会向量在解决平面几何问题中的作用；难点：如何将几何问题化归为向量问题.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、情景导入提问：（1）若O为重心,则++=.（2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形格致课堂为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本38-39页，思考并完成以下问题1、利用向量可以解决哪些常见的几何问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.向量在几何中的应用(1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．(2)用向量解决平面几何问题的“三部曲”①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化成向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．四、典例分析、举一反三题型向量在几何中的应用例1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：．【答案】见解析．【解析】证明：不妨设a，b，则a+b，a-b，|a|2，|b|2．得(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2．①同理 |a|2-2a·b+|b|2．② 格致课堂①+②得2(|a|2+|b|2)=2()．所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．例2 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.【答案】见解析．【解析】证明法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE.解题技巧（用向量解决平面解析几何的步骤）(1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④ 格致课堂把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．跟踪训练1．如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上．【答案】见解析．【解析】证明：设＝m，＝n，由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，∴＝＋＝＋＝－m＋(m＋n)＝m＋n，＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n.∴＝.又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上．2、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC.【答案】见解析．【解析】证法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝AB，故可设＝e1，＝e2，|e1|＝|e2|，则＝2e2.∴＝＋＝e1＋e2，格致课堂＝－＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.而·＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝|e1|2－|e2|2＝0，∴⊥，即AC⊥BC.证法二：如图，建立直角坐标系，设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴＝(－1,1)，＝(1,1)．∴·＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.∴AC⊥BC.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本39页练习，52页习题6.4的1-3题. 格致课堂本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力. 查看更多

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