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第十章概率A(基础卷)参考答案与试题解析一.选择题(共8小题)1.(2020春•丰台区校级月考)抛掷2颗骰子,所得点数之和记为ξ,那么ξ=4表示的随机试验结果是( )A.2颗都是4点B.1颗是1点,另1颗是3点C.2颗都是2点D.1颗是1点、另1颗是3点,或2颗都是2点【解答】解:对A、B中表示的随机试验的结果,随机变量均取值4,而D是ξ=4代表的所有试验结果.故选:D.2.(2020春•武汉期中)下列随机变量中不是离散型随机变量的是( )A.掷5次硬币正面向上的次数MB.从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球,这2个小球上所标的数字之和YC.某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间TD.将一个骰子挪3次,3次出现的点数之和X【解答】解:由随机变量的概念可知.某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T不能一一举出,故不是离散型随机变量;故选:C.3.(2019秋•龙岩期末)从四双不同的鞋中任意取出4只,事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”( )
A.是对立事件B.不是互斥事件C.是互斥但不对立事件D.都是不可能事件【解答】解:从四双不同的鞋中任意取出4只,事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”是对立事件.故选:A.4.(2019秋•日照期末)已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A∪B)=( )A.0.3B.0.6C.0.7D.0.9【解答】解:因为P(C)=0.6,事件B与C对立,所以P(B)=0.4,又P(A)=0.3,A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7,故选:C.5.(2020春•南阳期中)已知某种产品的合格率是95%,合格品中的一级品率是20%.则这种产品的一级品率为( )A.18%B.19%C.20%D.21%【解答】解:一级品率是在合格品条件下发生,故这种产品的一级品率为95%×20%=19%.故答案为:19%.故选:B.6.(2020•辽宁一模)甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌,用作投骰子的奖品,两人商定:骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分,否则乙得1分,先积得3分者获胜得所有12张游戏牌,并结束游戏.比赛开始后,甲积2分,乙积1分,这时因意外事件中断游戏,以后他们不想再继续这场游戏,下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )A.甲得9张,乙得3张B.甲得6张,乙得6张C.甲得8张,乙得4张D.甲得10张,乙得2张【解答】解:由题意,为了决出胜负,最多再赛两局,用“甲”表示甲胜,用“乙”表示乙胜,于是这两局有四种可能:(甲,甲),(甲,乙),(乙,甲),(乙,乙).其中甲获胜有3种,而乙只有1种,所以甲获胜的概率是,乙获胜的概率是.
所以甲得到的游戏牌为129,乙得到圆心牌为123;当甲得3分时获得12张游戏牌,当甲得1分时获得3张牌,当甲得2分时获得9张牌,故选:A.7.(2019春•泰州期末)若一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为0.2,目标未受损的概率为0.4,则目标受损但未被击毁的概率为( )A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4【解答】解:∵一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为0.2,目标未受损的概率为0.4,∴P(目标未受损)=0.4,∴P(目标受损)=1﹣0.4=0.6,目标受损分为完全击毁和未完全击毁两种情形,它们是对立事件,P(目标受损)=P(目标受损但未完全击毁)+P(目标受损但击毁),即:0.6=P(目标受损但未完全击毁)+0.2,∴P(目标受损但未完全击毁)=0.6﹣0.2=0.4.故选:D.8.(2019春•雁塔区校级期中)袋中装有5个红球和4个黑球,从袋中任取4个球取到1个红球得3分,取到1个黑球得1分,设得分为随机变量ξ,则ξ≥8的概率P(ξ≥8)等于( )A.B.C.D.【解答】解:袋中装有5个红球和4个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得3分,取到1个黑球得1分,设得分为随机变量ξ,由题意得得分小于8分的只有两种情况:取到1红3黑,计6分,取到4黑,计4分,根据互斥事件概率得:则ξ≥8的概率P(ξ≥8)=1﹣[P(ξ=6)+P(ξ=4)]=1.故选:B.二.多选题(共4小题)9.(2020春•锡山区校级期中)如果ξ是一个随机变量,则下列命题中的真命题有( )A.ξ取每一个可能值的概率都是非负数B.ξ取所有可能值的概率之和是1C.ξ的取值与自然数一一对应
D.ξ的取值是实数【解答】解:根据概率性质可得ξ取每一个可能值的概率都是非负数,所以A正确;ξ取所有可能值的概率之和是1,所以B正确;ξ的取值不一定是实数,不一定是自然数,所以C错误,D错误.故选:AB.10.(2020春•海安市校级月考)抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6“为事件A,“向上的点数是1,2“为事件B,“向上的点数是1,2,3“为事件C,“向上的点数是1,2,3,4“为事件D,则下列关于事件A,B,C,D判断正确的有( )A.A与B是互斥事件但不是对立事件B.A与C是互斥事件也是对立事件C.A与D是互斥事件D.C与D不是对立事件也不是互斥事件【解答】解:抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6“为事件A,“向上的点数是1,2“为事件B,“向上的点数是1,2,3“为事件C,“向上的点数是1,2,3,4“为事件D,在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确;在B中,A与C是互斥事件,也是对立事件,故B正确;在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误;在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.故选:ABD.11.(2019秋•葫芦岛期末)中国篮球职业联赛(CBA)中,某男能球运动员在最近儿次参加的比赛中的得分情况如表:投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是( )A.P(A)=0.55B.P(B)=0.18C.P(C)=0.27D.P(B+C)=0.55【解答】解:记该运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,
由古典概型得:P(A)0.55,故A正确;P(B)0.18,故B正确;P(C)=1﹣P(A)﹣P(B)=1﹣0.55﹣0.18=0.27,故C正确;P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.27=0.45,故D错误.故选:ABC.12.(2019秋•德城区校级月考)袋中有红球3个,白球2个,黑球1个,从中任取2个,则互斥的两个事件是( )A.至少有一个白球与都是白球B.恰有一个红球与白、黑球各一个C.至少一个白球与至多有一个红球D.至少有一个红球与两个白球【解答】解:袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,在A中,至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故A不成立.在B中,恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生,是互斥事件,故B成立;在C中,至少一个白球与至多有一个红球,能同时发生,故C不成立;在D中,至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生,是互斥事件,故D成立;故选:BD.三.填空题(共4小题)13.(2020春•沙坪坝区校级期中)从m个男生和n个女生(10≥m>n≥6)中任选2个人当班长,假设事件A表示选出的2个人性别相同,事件B表示选出的2个人性别不同,如果A的概率和B的概率相同,则(m,n)可能为 (10,6) .【解答】解:从m个男生和n个女生(10≥m>n≥6)中任选2个人当班长,假设事件A表示选出的2个人性别相同,事件B表示选出的2个人性别不同,A的概率和B的概率相同,则,整理,得(m﹣n)2=m+n,则(m,n)可能为(10,6),
故答案为:(10,6).14.(2020•湖北模拟)某工厂生产了一批节能灯泡,这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批产品中随机抽取一件产品检测,已知抽到一等品或二等品的概率为0.86,抽到二等品或三等品的概率为0.35,则抽到二等品的概率为 0.21 .【解答】解:设抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为A,B,C,则,解得抽到二等品的概率P(B)=0.21.故答案为:0.21.15.(2020•B卷模拟)抛掷一枚骰子10次,若结果10次都为六点,则下列说法正确的序号是 ② .①若这枚骰子质地均匀,则这是一个不可能事件;②若这枚骰子质地均匀,则这是一个小概率事件;③这枚骰子质地一定不均匀.【解答】解:根据题意,抛掷一枚骰子10次,若结果10次都为六点,若这枚骰子质地均匀,这种结果可能出现,但是一个小概率事件;故①③错误,②正确;故答案为:②16.(2020春•浦东新区校级期中)由1,2,3,…,1000这个1000正整数构成集合A,先从集合A中随机取一个数a,取出后把a放回集合A,然后再从集合A中随机取出一个数b,则的概率为 .【解答】解:由1,2,3,…,1000这个1000正整数构成集合A,先从集合A中随机取一个数a,取出后把a放回集合A,然后再从集合A中随机取出一个数b,P()=1﹣P(),∵,∴a,∴P(),
则的概率P()=1.故答案为:.四.解答题(共5小题)17.(2019秋•保定月考)甲、乙两人进行围棋比赛,记事件A为“甲获得比赛胜利或者平局”,事件B为“乙获得比赛的胜利或者平局”,已知P(A)=0.7,P(B)=0.4.(1)求甲获得比赛胜利的概率;(2)求甲、乙两人获得平局的概率.【解答】解:(1)甲获得比赛胜利的概率P1=1﹣P(B)=1﹣0.4=0.6.(2)甲、乙两人获得平局的概率为P2=P(A)﹣P1=0.7﹣0.6=0.1.18.(2020春•芝罘区校级期末)将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,事件A:“两数之和为8”,事件B:“两数之和是3的倍数”,事件C:“两个数均为偶数”.(Ⅰ)写出该试验的基本事件空间Ω,并求事件A发生的概率;(Ⅱ)求事件B发生的概率;(Ⅲ)事件A与事件C至少有一个发生的概率.【解答】解:(I)将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共有36个基本事件,事件A:“两数之和为8”,事件A包含的基本事件有:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个基本事件,∴事件A发生的概率为P(A).(II)事件B:“两数之和是3的倍数”,事件B包含的基本事件有12个,分别为:
(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),∴事件B发生的概率P(B).(III)事件A与事件C至少有一个发生包含的基本事件有11个,分别为:(2,2),(2,4),(2,6),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(6,2),(6,4),(6,6),∴事件A与事件C至少有一个发生的概率为P(A∪C).19.(2020春•和平区期中)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)设甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为X,求X=0,X=1,X=2,X=3时的概率P(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3).(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.【解答】解:(1)P(X=0)=(1)3,P(X=1)••(1)2,P(X=2)•()2•(1),P(X=3)•()3.(2)设乙同学上学期间的三天中在7:30之前到校的天数为Y,则P(Y=0)=P(X=0),P(Y=1)=P(X=1),P(Y=2)=P(X=2),P(Y=3)=P(X=3),∴P(M)=P(X=2)•P(Y=0)+P(X=3)•P(Y=1).20.(2020•香坊区校级模拟)如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下,回答下列问题:分组人数频率[39.5,49.5)a0.10
[49.5,59.5)9x[59.5,69.5)b0.15[69.5,79.5)180.30[79.5,89.5)15y[89.5,99.5]30.05(1)分别求出a,b,x,y的值,并补全频率分布直方图;(2)估计这次环保知识竞赛平均分;(3)若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访,抽到的学生成绩及格的概率有多大?【解答】解:(1)a=60×0.1=6,b=60×0.15=9,x0.15,y0.25;频率分布直方图如图所示:(2)用组中值估计平均分:44.5×0.1+54.5×0.15+64.5×0.15+74.5×0.3+84.5×0.25+94.5×0.05=70.5;(3)本次竞赛及格率为:0.015×10+0.025×10+0.03×10+0.005×10=0.75,用样本估计总体,每个人被抽到的概率相同,∴从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访,抽到的学生成绩及格的概率为0.75.21.(2019春•中原区校级月考)某中学根据学生的兴趣爱好,分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”
三个社团,据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m、、n,已知三个社团他都能进入的概率为,至少进入一个社团的概率为,且m>n.(l)求m与n的值;(2)该校根据三个社团活动安排情况,对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分,对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分,对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率.【解答】解:(1)由题意列出方程组,得:,解得m,n.(2)由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为Xi,获得样本等候课学分分数不低于4分为事件A,则P(X4),P(X5),P(X6),P(A)=P(X4)+P(X5)+P(X6).
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