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6.21平面向量的线性运算（精练）【题组一向量的加法运算】1．（2020·全国高一课时练习）化简．（1）．（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）；（2）.2．（2020·江西高一期末）下列四式不能化简为的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对B，，故B正确；对C，，故C正确；对D，，故D正确；故选：A.3．（2020·全国高一课时练习）（1）如图（1），在中，计算；（2）如图（2），在四边形ABCD中，计算；（3）如图（3），在n边形中，证明你的结论.
【答案】（1）（2）（3），见解析【解析】（1）（2）.（3）.证明如下：4．（2020·全国高一课时练习）（1）已知向量,,求作向量，使.（2）（1）中表示,,的有向线段能构成三角形吗？【答案】（1）见解析.【解析】（1）方法一：如图所示，当向量,两个不共线时，作平行四边形，使得，，
则，又，所以，即，方法二：利用向量的三角形法则，如下图：作，使得，，，则，即，当向量,两个共线时，如下图：使得，，则，，所以，，即.（2）向量,两个不共线时，表示,,的有向线段能构成三角形，向量,两个共线时，,,的有向线段不能构成三角形.5．（2020·全国高一课时练习）一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时河水流速的大小为求船实际航行的速度的大小与方向（精确到l°）.【答案】，方向与水流方向成76°角
【解析】设船的航行速度为，水流速度为，船的实际航行速度为v，v与的夹角为，则由，得.船实际航行的速度的大小为，方向与水流方向成76°角.6．（2020·全国高一课时练习）一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.【答案】飞机飞行的路程为；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行.【解析】由向量的加减运算可知：飞机飞行的路程是；两次位移的合成是向北偏西约53°，方向飞行.【题组二向量的减法运算】1．（2021·全国练习）已知向量，，，求作和.【答案】详见解析【解析】由向量加法的三角形法则作图：
由向量三角形加减法则作图：2．（2020·安徽滁州市））化简：（）A．B．C．D．【答案】A【解析】．故选：．3．（2020·全国高一课时练习）化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.【答案】（1）.（2）（3）.（4）（5）（6）.（7）
【解析】（1）原式.（2）原式（3）原式.（4）原式（5）原式（6）原式.（7）原式4．（多选）（2020·全国高三专题练习）下列各式中，结果为零向量的是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】对于选项：，选项不正确；对于选项：，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：BD5．（多选）（2020·全国高一课时练习）已知为非零向量,则下列命题中正确的是()A．若,则与方向相同B．若,则与方向相反C．若,则与有相等的模D．若,则与方向相同【答案】ABD
【解析】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.当同向时有,.当反向时有,故选：ABD【题组三向量的数乘运算】1．（2020·全国高一课时练习）化简：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式．2．（2020·全国高一课时练习）化简下列各式：（1）；（2）．【答案】(1)；(2).【解析】（1）原式．
（2）原式．3．（2020·全国高一课时练习）作图验证：（1）（2）【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】如图，在平行四边形ABCD中，设，则.（1）因为，所以（2）因为，所以4．（2020·全国高一课时练习）已知点是平行四边形内一点，且＝，＝，＝，试用表示向量、、、及．【答案】；=；＝；＝．【解析】∵四边形为平行四边形．∴＝＝；＝－＝；＝－＝；＝－＝；＝＋＝．
4．（2020·）如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，，试用、表示、、.【答案】；；【解析】，，，．．，，．．5．（2020·全国高一课时练习）向量如图所示，据图解答下列问题：（1）用表示；（2）用表示；（3）用表示；（4）用表示.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】由图知,（1）；（2）；（3）；（4）【题组四向量的共线定理】1．（2021·全国）设是两个不共线的向量,若向量与共线,则( )A．λ=0B．λ=-1C．λ=-2D．λ=-【答案】D【解析】由已知得存在实数k使,即,于是1=2k且λ=-k,解得λ=-.2．（2020·全国高一课时练习）设是不共线的两个非零向量，已知，，若三点共线，则的值为()A．1B．2C．-2D．-1【答案】D【解析】因为，故存在实数，使得，又，所以，故，故选D.3．（2020·全国高一课时练习）判断下列各小题中的向量与是否共线：（1），；
（2），．【答案】（1）与共线；（2）与共线．【解析】（1），所以与共线；（2），所以与共线．4．（2021·四川乐山市·高一期末）已知向量，不是共线向量，，，（1）判断，是否共线；（2）若，求的值【答案】（1）与不共线.（2）【解析】（1）若与共线，由题知为非零向量，则有，即，∴得到且，∴不存在，即与不平行.（2）∵，则，即，即，解得.5．（2020·全国高一课时练习）已知非零向量不共线，且，，，，能否判定A，B，D三点共线？请说明理由．【答案】无法判定A，B，D三点共线，见解析【解析】无法判定A，B，D三点共线，证明如下：，，
所以，所以向量与共线．由于向量共线包括对应的有向线段平行与共线两种情况，所以无法判定A，B，D三点共线．6．（2020·全国高一课时练习）设是两个不共线向量，已知，，．若，且B，D，F三点共线，求k的值．【答案】【解析】，∵B，D，F三点共线，∴，即．由题意知不共线，得，解得．7．（2020·全国高一课时练习）已知是两个不共线的向量，若，，，求证：A，B，D三点共线．【答案】见解析【解析】∵，，∴．又，∴，∴．∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．8．（2020·全国高一课时练习）如图所示,在平行四边形中,，,M为的中点,点N在上,且.证明:M,N,C三点共线.【答案】证明见解析【解析】∵,
∴.连接,则,,∴,∴与共线.又与有公共点N,∴M,N,C三点共线.9．（2020·全国高一课时练习）如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段的一个靠近点B的三等分点,设.(1)用向量与表示向量;(2)若,求证:C,D,E三点共线.【答案】(1),;(2)证明见解析.【解析】(1)∵,,∴,.(2)证明:,∴与平行,又∵与有共同点C,
∴，，三点共线.10．（2020·全国高一课时练习）如图所示，已知D，E分别为的边，的中点，延长至点M使，延长至点N使，求证：M，A，N三点共线．【答案】见解析【解析】连接，（图略）．∵D为的中点，且D为的中点，∴四边形为平行四边形，∴，∴．同理可证，．∴，∴，共线且有公共点A，∴M，A，N三点共线．
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