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第十章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中，随机事件的个数是( )①2022年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0.A．1B．2C．3D．4答案 B解析 ①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．故选B.2．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”答案 A解析 由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件．3．如果从一个不透明的口袋中摸出白球的概率为，已知袋中有红球和白球，红球有3个，那么袋中球的总个数为( )A．16B．18C．20D．24答案 B解析 设袋中有x个球，因为摸出白球的概率为，故摸到红球的概率为，且袋中红球有3个，所以＝.所以x＝18.4．将数字1,2,3填入标号为1,2,3的三个方格里，每格填上一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的概率是( )
A.B.C.D.答案 B解析 将数字1,2,3填入标号为1,2,3的三个方格里有6种不同的填法，这6种情况发生的可能性是相等的．而每个方格的标号与所填的数字均不相同只有两种不同的填法．故所求概率P＝＝.5．对于同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是( )A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．不互斥、不对立答案 C解析 ∵事件A，B不可能同时发生，但必有一个发生，∴事件A，B的关系是互斥且对立．6．若“A＋B”发生(A，B中至少有一个发生)的概率为0.6，则，同时发生的概率为( )A．0.6B．0.36C．0.24D．0.4答案 D解析 “A＋B”发生指A，B中至少有一个发生，它的对立事件为A，B都不发生，即，同时发生．故选D.7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，抽得次品的概率为( )A．0.01B．0.02C．0.03D．0.04答案 D解析 设“抽得次品”为事件A，“抽得乙级品”为事件B，“抽得丙级品”为事件C，由题意，知事件B与事件C是互斥事件，且A＝B∪C，所以P(A)＝P(B∪C)＝[P(B)＋P(C)]＝0.03＋0.01＝0.04.8．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )A．0.6B．0.5
C．0.4D．0.3答案 D解析 设2名男同学为A1，A2,3名女同学为B1，B2，B3，从以上5名同学中任选2人总共有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共10种等可能的情况，选中的2人都是女同学的情况共有B1B2，B1B3，B2B33种可能，则选中的2人都是女同学的概率为P＝＝0.3.故选D.9．甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是( )A.B.C.D.答案 C解析 列出乙、丙、丁三人分别得到的钱数，有(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(3,2,4)，(3,3,3)，(3,4,2)，(4,2,3)，(4,3,2)，(5,2,2)，共有10种等可能的情况．而丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的情况有(2,4,3)，(2,5,2)，(3,3,3)，(3,4,2)，共4种，故所求概率为＝，故选C.10．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个图形颜色不全相同的概率为( )A.B.C.D.答案 A解析 每一个图形有2种涂法，总的涂色种数为23＝8，三个图形颜色完全相同的有2种(全是红或全是蓝)，则三个图形颜色不全相同的涂法种数为8－2＝6.所以三个图形颜色不全相同的概率为＝.故选A.
11．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率为的是( )A．颜色相同B．颜色不全相同C．颜色全不相同D．无红球答案 B解析 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为＝；颜色不全相同的结果有24种，其概率为＝；颜色全不相同的结果有6种，其概率为＝；无红球的结果有8种，其概率为.故选B.12．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量(单位：个)，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2名进行培训，则这2名工人不在同一组的概率是( )A.B.C.D.答案 C解析 根据频率分布直方图可知，生产产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2，5×0.04×20＝4.设生产产品的数量在[10,15)内的2人分别是A，B，[15,20)内的4人分别为C，D，E，F，则从生产低于20件产品的工人中随机选取2名工人的样本点有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个，且这15个样本点发生的可能性是相等的.2名工人不在同一组的样本点有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，
F)，共8个，则选取的2名工人不在同一组的概率为.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1,2,3,4,5，若从中一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为________．答案 解析 画树状图如下：，共20种等可能的结果，其中摸出的两个球的编号之和大于6的结果有8种，故所求概率为＝.14．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录落在桌面的数字，得到如下频数表：落在桌面的数字12345频数3218151322则落在桌面的数字不小于4的频率为________．答案 0.35解析 落在桌面的数字不小于4，即4,5的频数共13＋22＝35，所以所求频率＝＝0.35.15．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．答案 0.03解析 设“一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎”为事件A，由频率的稳定性，知事件A发生的频率为＝＝0.03，即是概率的近似值．16．A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，则A或B在边上的概率为________．
答案 解析 A，B，C，D四名学生按任意次序站成一排，样本点总数为24，如下图所示．这24个样本点发生的可能性是相等的．其中A，B都不在边上共4个样本点，所以A或B在边上的概率为P＝1－＝.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解 (1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.(3)与(1)同理，可得顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．18．(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表(单位：人)：(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．解 (1)设“该同学至少参加上述一个社团”为事件A，则P(A)＝＝.所以该同学至少参加上述一个社团的概率为.(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有样本点有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)，共15个，且这15个样本点发生的可能性是相等的．其中A1被选中且B1未被选中的有(A1，B2)，(A1，B3)共2个，所以A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.19．(本小题满分12分)某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(单位：分)整理后，得到如下频率分布直方图(其中分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[90,100])：(1)求成绩在[70,80)的频率，并补全此频率分布直方图；(2)求这次考试平均分的估计值；(3)若从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．
解 (1)第四小组的频率＝1－(0.005＋0.015＋0.020＋0.030＋0.005)×10＝0.25.(2)依题意可得，平均分＝(45×0.005＋55×0.015＋65×0.020＋75×0.025＋85×0.030＋95×0.005)×10＝72.5.故这次考试平均分的估计值为72.5.(3)[40,50)与[90,100]的人数分别是3和3，所以从成绩在[40,50)与[90,100]内的学生中选两人，将[40,50)分数段的3人编号为A1，A2，A3，将[90,100]分数段的3人编号为B1，B2，B3从中任取两人，则样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共有15个样本点，这15个样本点发生的可能性是相等的．其中，在同一分数段内的事件所含样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共6个，故所求概率P＝＝.20．(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字不同外其他完全相同．现随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．解 (1)由题意，(a，b，c
)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种，且这27种结果发生的可能性是相等的．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P(A)＝＝.因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)＝1－P()＝1－＝.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.21．(本小题满分12分)已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为，，，且三人是否通过测试互不影响．求：(1)3人都通过体能测试的概率；(2)只有2人通过体能测试的概率；(3)只有1人通过体能测试的概率．解 设事件A＝“甲通过体能测试”，事件B＝“乙通过体能测试”，事件C＝“丙通过体能测试”，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.(1)设M1表示“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即M1＝ABC，则由A，B，C相互独立，可得P(M1)＝P(A)·P(B)P(C)＝××＝.(2)设M2表示“只有2人通过体能测试”，则M2＝AB＋AC＋BC，由于事件A与B，A与C，B与C均相互独立，且事件AB，AC，BC两两互斥，则P(M2)＝P(AB∪AC∪BC)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝＋＋＝.
(3)设M3表示事件“只有1人通过体能测试”．则M3＝A＋B＋C，由于事件A、、，、B、，、、C均相互独立，并且事件A，B，C两两互斥，所以所求的概率为P(M3)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()·P()P(C)＝××＋××＋××＝.22．(本小题满分12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数(不考虑指针落在分界线上的情况)．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解 (1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}．因为Ω中元素的个数是4×4＝16.所以样本点总数n＝16.记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy≥8”为事件B，“3
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