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第2课时 直线与平面垂直的性质定理知识点一 直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行；②作平行线知识点二 线面距离、平行平面间的距离1．一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．2．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．平行关系与垂直关系之间的相互转化
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线a⊥平面α，直线b⊥平面β，且α∥β，则a∥b.( )(2)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.( )(3)若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α.( )答案 (1)√ (2)√ (3)×2．做一做 (1)若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为( )①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.A．1B．2C．3D．0(2)在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是________．(3)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，A1C1与B1D1相交于点O1，则OO1与平面A1B1C1D1的位置关系是________．答案 (1)B (2)平行 (3)垂直
题型一线面垂直性质的应用例1 如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是A1D上的点，F是AC上的点，且EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.[证明] 如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.[条件探究] 在本例中，若E为A1D的中点，F为AB的中点，如何证明EF⊥平面AB1C?证明 连接AD1，AB1，B1C，∵E为A1D的中点，由平行四边形的性质可知E为AD1的中点．
又∵F为AB的中点，∴EF∥BD1.由例1可知BD1⊥平面AB1C，∴EF⊥平面AB1C. 证明线线平行常用的方法(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)求证：A1C⊥B1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.证明 (1)如图，连接A1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1D1，
B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1.∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.又CC1∩A1C1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C.又A1C⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.(2)连接B1A，AD1.∵B1C1綊AD，∴四边形ADC1B1为平行四边形，∴C1D∥AB1.∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1.又MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，∴MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又AB1∩B1D1＝B1，∴A1C⊥平面AB1D1.∴A1C∥MN.题型二直线与平面垂直的判定定理、性质定理的综合应用例2 如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：＝.[证明] ∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC，PC∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴EF∥BD，∴＝.
(1)线线垂直的证明，常转化为线面垂直来证明，即：把两条直线中一条放在某个平面内，然后证明另一条垂直于这个平面．要证线面垂直，可通过线面垂直的定义及判定定理，体现了→→，解题时要注意这种相互转化关系的合理应用．(2)要学会逆向分析的方法，从要证明的结论入手，层层递推，这是解决问题的有效方法．已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R，求证：QR⊥AB.证明 如图，∵α∩β＝AB，∴AB⊂α，AB⊂β，∵PO⊥β，∴PO⊥AB.∵PQ⊥α，∴PQ⊥AB.∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面PQO.∵OR⊥α，∴PQ∥OR.∴PQ与OR确定平面PQRO.又∵QR⊂平面PQRO，∴QR⊥AB.1．已知△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．不确定答案 C解析 因为l⊥AB，l⊥AC，AB⊂α，AC⊂α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可证m⊥α，所以l∥m.2．已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面．下列命题中正确的个数为( )①若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.
A．1B．2C．3D．0答案 B解析 对于①，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正确；对于②，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正确；对于③，因为l∥α，l⊥m，所以m∥α或m⊂α或m⊥α或m与α斜交，即③错误．3.如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是( )A．PD⊥BDB．PD⊥CDC．PB⊥BCD．PA⊥BD答案 A解析 ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，若PD⊥BD，PA∩PD＝P，∴BD⊥平面PAD.又AB⊥平面PAD，∴BD∥AB，不成立，故选A.4．如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝________.答案 解析 因为AF⊥平面ABCD，AF∥ED，所以ED⊥平面ABCD，因为CD⊂平面ABCD，所以ED⊥CD，所以△EDC为直角三角形，CE＝＝.5．如图所示，已知平面α∩平面β＝EF，A为α，β外一点，AB⊥α于点B，AC⊥β于点C，CD⊥α于点D.求证：BD⊥EF.
证明 ∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面．∵AB⊥α，AC⊥β，α∩β＝EF，∴AB⊥EF，AC⊥EF.又AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABDC，∵BD⊂平面ABDC，∴EF⊥BD.
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