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8.6.3 平面与平面垂直第1课时 平面与平面垂直的判定知识点一 二面角的定义1．有关概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角.2．二面角的平面角(1)定义：以二面角的棱上任一点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(2)必备的三个条件：①角的顶点在二面角的棱上；②角的两边分别在二面角的两个半平面内；③角的两边分别与二面角的棱垂直．3．二面角的大小及求法(1)二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.(2)二面角大小的求法①作：依据题中的条件作出一平面角；②证：证明所作出的平面角是二面角的平面角(用二面角的平面角的定义证)；
③求：求出这个平面角的大小即为二面角的大小(构造三角形解三角形来求)．知识点二 两个平面互相垂直的定义1．两个平面互相垂直的定义(1)一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)图形(3)表示：平面α与平面β垂直，记作.2．两平面垂直的判定定理(1)定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．(2)符号表示：若，则.(3)定理的作用：证两平面垂直．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义．(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的．因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．3．有助于判断面面垂直的结论(1)m∥n，m⊥α，n⊂β⇒α⊥β；(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β；(3)α∥β，γ⊥α⇒γ⊥β.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关．( )(2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的．( )(3)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(1)在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是( )A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β(2)过一点可作________个平面与已知平面垂直．(3)若∠AOB是锐二面角α－l－β的平面角，则l与平面AOB的位置关系是________．(4)如图，空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么图中互相垂直的平面有________．答案 (1)D (2)无数 (3)l⊥平面AOB (4)平面ABD⊥平面BCD，平面ACD⊥平面BCD题型一求二面角 例1 四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.求：(1)二面角A－PD－C的平面角的度数；(2)二面角B－PA－D的平面角的度数；(3)二面角B－PA－C的平面角的度数．
[解] (1)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角．又由题意可得∠BAD＝90°，∴二面角B－PA－D的平面角的度数为90°.(3)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.[条件探究] 在本例中，若求二面角P－BC－D的平面角的度数又该如何解？解 ∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥AB.又BC⊥AB，且AB∩AP＝A，∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB.又AB⊥BC，∴∠PBA为二面角P－BC－D的平面角．在Rt△PAB中，AP＝AB.∴∠PBA＝45°.∴二面角P－BC－D的平面角的度数为45°. 1.确定二面角的平面角的方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．2．求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C
是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．解 由已知得PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.又BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.题型二用定义法证明平面与平面垂直例2 如图所示，在四面体A－BCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.[证明] ∵AB＝AD＝CB＝CD＝a，∴△ABD与△BCD是等腰三角形．∴取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角．在Rt△ABD中，AB＝a，BE＝BD＝a，
∴AE＝＝a.同理CE＝a.在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，即二面角A－BD－C的平面角为90°.∴平面ABD⊥平面BCD. 用定义证明两个平面垂直的步骤利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：①找出两个相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个平面互相垂直． 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC.证明 如图，连接BD，交AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.同理可得FG⊥AC，所以∠EGF为二面角E－AC－F的平面角，在Rt△EBG中，可得BE＝＝，故DF＝.
在Rt△FDG中，可得FG＝＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.即二面角E－AC－F的平面角为90°，所以平面AEC⊥平面AFC.题型三利用判定定理证明面面垂直例3 如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.[证明] ∵MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.在△PBC中，G，F分别为PB，PC的中点，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC. 证明面面垂直的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”．(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
求证：平面AEC⊥平面PDB.证明 ∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BD，AC⊥PD，又PD，BD为平面PDB内两条相交直线，∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.题型四折叠问题例4 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.(1)求证：平面PDE⊥平面PAD；(2)求二面角P－AD－E的大小．[解] (1)证明：由AB⊥BE，得AP⊥PE，同理，DP⊥PE.又∵AP∩DP＝P，∴PE⊥平面PAD.又PE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAD.(2)如图所示，取AD的中点F，连接PF，EF，则易知PF⊥AD，EF⊥AD，∴∠PFE就是二面角P－AD－E的平面角．又PE⊥平面PAD，PF⊂平面PAD，∴PE⊥PF.
∵EF＝AB＝，∴PF＝＝1，∴cos∠PFE＝＝.∴二面角P－AD－E的大小为45°.折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题．解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.证明 如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.∵AB＝AD，E是AD的中点，∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四边形BCDE中，CD⊥MN，又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN，又A′N⊂平面A′MN，∴CD⊥A′N.∵DE∥BC且DE＝BC，∴BE必与CD相交．又A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.又A′N⊂平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.
1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A．①③B．②④C．③④D．①②答案 B解析 由二面角的定义知，①错误；a，b分别垂直于两个平面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误；由定义知④正确．故选B.2.在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD答案 C解析 由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A，B，D正确．3.如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为( )A．90°B．60°C．45°D．30°
答案 A解析 因为PA⊥平面ABC，BA⊂平面ABC，CA⊂平面ABC，所以BA⊥PA，CA⊥PA.因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角，又∠BAC＝90°，所以二面角B－PA－C的平面角为90°.故选A.4．如图所示，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是________．答案 垂直解析 易知BE⊥AC，DE⊥AC，∴AC⊥平面BDE.又AC⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDE.5．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为AB上的点，且AD＝AE＝DC＝2，BE＝1，将△ADE沿DE折叠到点P，使PC＝PB.(1)求证：平面PDE⊥平面ABCD；(2)求四棱锥P－EBCD的体积．解 (1)证明：如图，取BC的中点G，DE的中点H，连接PG，GH，HP.∴HG∥AB，又AB⊥BC，∴HG⊥BC.∵PB＝PC，∴PG⊥BC.又HG∩PG＝G，∴BC⊥平面PGH.又PH⊂平面PGH，∴PH⊥BC.∵PD＝PE，H为DE的中点，∴PH⊥DE.∵BE∥DC，且DC＝2BE，∴DE与BC必相交，
∴PH⊥平面BCDE.而PH⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE，即平面PDE⊥平面ABCD.(2)连接EC，AH，由(1)可知，PH为四棱锥P－BCDE的高．∵DC∥AE，且AD＝AE＝DC＝2，∴四边形AECD为菱形．∴CE＝AD＝2.而EB＝1，EB⊥BC，∴BC＝＝，DE＝2.∴PH＝AH＝.∴VP－BCDE＝·PH·S梯形BCDE＝×××(1＋2)×＝.
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