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8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系知识点一 空间中直线与直线的位置关系1．空间两条直线的位置关系有且只有三种2．异面直线的画法知识点二 空间中直线与平面的位置关系知识点三 空间中平面与平面的位置关系1．位置关系：有且只有两种：
①两个平面平行——没有公共点；②两个平面相交——有一条公共直线．2．符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为α∩β＝l.3．图示：两个平面α，β平行，如图①所示；两个平面α，β相交于直线l，如图②所示．1．正确理解异面直线的定义异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线．例如，如图所示的长方体中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线．2．两个平面位置关系的画法(1)两个平行平面的画法画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行．(2)两个相交平面的画法①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图(a)．②再画出表示两个平面交线的线段，如图(b)．③过图(b)中线段的端点分别引线段，使它们平行于图(b)中表示交线的线段，如图(c)．④画出图(c)中表示两个平面的平行四边形的第四边(被遮住的线，可以画成虚线，也可以不画)，如图(d)．
3．判断直线与平面及平面与平面的位置关系常用定义法和反证法．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线若不是异面直线，则必相交或平行．( )(2)两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )(3)若直线a在平面α外，则a∥α.( )(4)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．( )(5)若a∥b，b⊂α，则a平行于α内的无数条直线．( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ 2．做一做(1)如图所示，用符号语言可表示为( )A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α(2)如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是________．(3)过直线l外一点P，有________个平面与l平行．(4)已知点A∉α，则过点A与平面α有公共点的直线与平面α一定________．(5)过平面α外一点P，有________个平面与α平行．答案 (1)D (2)平行或异面 (3)无数 (4)相交 (5)一题型一空间两条直线位置关系的判断例1 已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明．[解] 直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面．如图(1)(2)(3)．
判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两条直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．答案 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面解析 首先看两直线是否有交点，判断是否是相交，然后在没有交点的两直线中判断这两直线是否在一个平面内，如果不在，则两直线异面．本题中直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以(3)应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以(1)应该填“平行”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以(2)(4)都应该填“异面”. 题型二直线与平面的位置关系例2 下列命题中，正确命题的个数是( )①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；
④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.A．0B．1C．2D．3[解析] 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；⑤显然正确．故答案为C.[答案] C 直线与平面位置关系的判断方法(1)空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．(2)在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．下列说法中，正确的个数是( )①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，则它和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．A．0B．1C．2D．3答案 C解析 ①正确；②错误，如图所示，l1∥m，而m⊂α，l1⊂α；③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确．故选C.
题型三平面与平面的位置关系例3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1，在图甲中，E，F分别是D1C1，B1B的中点，请画出图甲、图乙中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．[解] 在图甲中，过点E作EN平行于BB1交CD于点N，连接NB，并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．在图乙中，延长DC，过点C1，作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．证明如下：在图甲中，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面，EF与BN相交，交点为M.又因为M∈EF，且M∈NB，而EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点，故AM所在直线为两平面的交线．在图乙中，C1M与DC的延长线交于点M，所以M∈DC.又因为DC⊂平面ABCD，所以M∈平面ABCD，而C1M∥A1B，所以C1，M，B，A1四点共面，所以M∈平面A1C1B.即点M是平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又因为点B也是两平面的公共点，所以BM所在直线即为两平面的交线． 平面与平面的位置关系的判断方法(1)平面与平面的位置关系有两种，平行和相交，相交的判断主要是以基本事实3为依据找出一个交点，平面与平面平行的主要特点是没有公共点．(2)牢牢抓住其特征和定义，把文字语言或符号语言转化，结合空间想象全方位、多角度思考，特别是特殊情况，要学会举反例否定．
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，BB1的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)平面AMD1与平面BNC的位置关系．解 (1)AM所在的直线与平面ABCD相交．(2)CN所在的直线与平面ABCD相交．(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行．(4)平面AMD1与平面BNC相交.题型四直线与平面位置关系的证明例4 求证：两条平行线中的一条直线与已知平面相交，则另一条直线也与该平面相交．[证明] 已知：直线a∥b，a∩α＝P，求证：直线b与平面α相交．证明：如图所示，∵a∥b，∴a与b确定平面β，∵a∩α＝P，∴平面α和平面β相交于过点P的直线l.∵在平面β内l与两条平行直线a，b中的一条直线a相交，∴l必与b相交．设b∩l＝Q，又b不在平面α内，∴直线b和平面α相交． 证明直线与平面相交的方法
证明直线与平面相交，按定义需证明直线b与平面α有且只有一个公共点，即①直线b与平面α有公共点；②直线b与平面α只有一个公共点．此类问题常转化为平面问题解决．证明直线与平面相交，也常用反证法．求证：若一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线与该平面相交．证明 已知：A∈α，A∈a，B∉α，B∈a.求证：直线a与平面α相交．如右图所示，假设直线a与平面α不相交，即a∥α，或a⊂α.假设a∥α，则A∉α，这与已知条件A∈α矛盾．假设a⊂α，则B∈α，这与已知条件B∉α矛盾．∴假设不成立，∴直线a与平面α相交. 题型五线面、面面相交问题例5 在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点．求证：平面ACC1A1与平面BEF相交．[证明] ∵在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点，∴AA1与BE不平行，则AA1，BE的延长线相交于一点，设此点为G，∴G∈AA1，G∈BE.又AA1⊂平面ACC1A1，BE⊂平面BEF，∴G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF，∴平面ACC1A1与平面BEF相交．
判断或证明平面与平面的位置关系时主要考虑平面与平面有无公共点，如果没有公共点，则两平面平行；如果可以找到一个公共点，则两平面相交．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．解 如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E，F，C，D1四点共面．∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.∴过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.1．如果一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条直线之间的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．可能平行、可能相交、可能异面答案 D
解析 可以利用长方体的棱所在的直线找到平行、相交、异面的情况．2．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线( )A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内答案 C解析 过点P和直线a可确定唯一一个平面，在这个平面内，过点P可作直线与直线a平行，且这条直线唯一，而且这条直线在平面α内．故选C.3．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线可能有________条．答案 1或2或3解析 当α过β，γ的交线时，三平面有一条交线．当β∥γ时，有两条交线．当α与β，γ两两相交且不交于同一条直线时，有三条交线．4．下列命题正确的有________．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b.答案 ①⑤解析 对于②，直线l也可能与平面相交；对于③，直线l与平面内不过交点的直线是异面直线，而与过交点的直线相交；对于④，另一条直线可能在平面内，也可能与平面平行；对于⑥，两平行平面内的直线可能平行，也可能异面．故①⑤正确．5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，指出B1C，D1B所在直线与各个面所在平面的关系．解 B1C所在直线与各面所在平面的关系是：B1C在平面BB1C1C内，B1C∥平面AA1D1D，与平面ABB1A1，平面CDD1C1，平面ABCD，平面A1B1C1D1都相交．直线D1B与各个面都相交．
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