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8.5.3 平面与平面平行知识点一 平面与平面平行的判定定理1.文字语言:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.2.符号语言:⇒α∥β.3.图形语言:如图所示.4.作用:证明两个平面平行.知识点二 平面与平面平行的性质定理1.定理:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.2.符号表示:若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b.3.作用:证明或判断线线平行.1.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义.(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.(3)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.2.平面与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可(1)两个平面平行,即α∥β.(2)第一个平面与第三个平面相交,即α∩γ=a.
(3)第二个平面与第三个平面也相交,即β∩γ=b.3.三种平行关系可以任意转化,其相互转化关系如图所示1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平行于同一条直线的两个平面互相平行.( )(2)如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.( )(3)若平面α,β都与平面γ相交,且交线平行,则α∥β.( )答案 (1)× (2)× (3)×2.做一做(1)若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面的位置关系是( )A.一定平行B.一定相交C.平行或相交D.以上判断都不对(2)已知平面α,β和直线a,b,c,且a∥b∥c,a⊂α,b,c⊂β,则α与β的关系是________.(3)设a,b是不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列结论:①若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b;②若α∥β,a∥α,a⊄β,则a∥β;③若α∥β,A∈α,过点A作直线l∥β,则l⊂α;④平行于同一个平面的两个平面平行.其中所有正确结论的序号是________.(4)平面α∥平面β,直线l∥α,则直线l与平面β的位置关系是________.答案 (1)C (2)相交或平行 (3)②③④ (4)l∥β或l⊂β题型一平面与平面平行判定定理的理解例1 下列命题中正确的是( )
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行;②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行;③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行;④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,则这两个平面平行.A.①③B.②④C.②③④D.③④[解析] 对于①:一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,如果这两条直线不相交,而是平行,那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在,故①错误;对于②:一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,此时两平面不一定平行.如果这无数条直线都与两平面的交线平行时,两平面可以相交,故②错误;对于③:一个平面内任何一条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行.这是两个平面平行的定义,故③正确;对于④:一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行.这是两个平面平行的判定定理,故④正确.故选D.[答案] D 应用平面与平面平行判定定理的注意事项(1)平面与平面平行判定定理把判定面面平行转化为判定线面平行,同时应注意是两条相交直线都平行于另一平面.(2)解决此类问题,若认为命题正确,必须用相关定理严格证明;而要否定它,只需要举出一个反例,此时借用常见几何模型是非常有效的方法.设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有( )①l⊂α,m⊂α,且l∥β,m∥β;②l⊂α,m⊂α,且l∥m,l∥β,m∥β;③l∥α,m∥β,且l∥m;④l∩m=P,l⊂α,m⊂α,且l∥β,m∥β.A.1个B.2个C.3个D.0个答案 A解析 ①错误,因为l,m不一定相交;②错误,一个平面内有两条直线平行于另一个平面,这两个平面可能相交;③错误,两个平面可能相交;由面面平行的判定定理可知,④正确.
题型二平面与平面平行的判定例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点.求证:(1)E,F,B,D四点共面;(2)平面MAN∥平面EFDB.[证明] (1)如图,连接B1D1,∵E,F分别是边B1C1,C1D1的中点,∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1,∴BD∥EF.∴E,F,B,D四点共面.(2)易知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB,BD⊂平面EFDB,∴MN∥平面EFDB.连接MF,∵M,F分别是A1B1,C1D1的中点,∴MF∥A1D1,MF=A1D1,∴MF∥AD,MF=AD,∴四边形ADFM是平行四边形,∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE,DF⊂平面BDFE,∴AM∥平面BDFE.∵AM∩MN=M,∴平面MAN∥平面EFDB. 线线平行、线面平行与面面平行的转化(1)要证面面平行需证线面平行,要证线面平行需证线线平行,因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题.此即为面面平行判定定理的推论产生的依据.
(2)在转化为线面平行证面面平行时,首先观察面内已有的直线是否平行,若不平行,再利用条件有针对性地构造平面找出平行直线.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明 (1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面.(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因为A1G∥EB,A1G=EB,所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF=E,所以平面EFA1∥平面BCHG.题型三平面与平面平行性质定理的应用例3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ与平面PAO平行?[解] 如图,设平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,点M在AA1上,
由于平面D1BQ∩平面BCC1B1=BQ,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.假设平面D1BQ∥平面PAO,由平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,平面PAO∩平面ADD1A1=AP,可得AP∥D1M,所以BQ∥AP.因为P为DD1的中点,所以Q为CC1的中点.故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤如图,已知AB,CD是夹在两个平行平面α,β之间的线段,M,N分别为AB,CD的中点.求证:MN∥α.证明 若AB,CD在同一平面内,则平面ABDC与α,β的交线分别为BD,AC.∵α∥β,∴AC∥BD.∵M,N分别为AB,CD的中点,∴MN∥BD.又BD⊂α,MN⊄α,∴MN∥α.若AB,CD异面,如图,过A作AE∥CD交α于点E,取AE的中点P
,连接MP,PN,BE,ED.∵AE∥CD,∴AE,CD确定平面AEDC,且与α,β的交线分别为ED,AC.∵α∥β,∴ED∥AC.又P,N分别为AE,CD的中点,∴PN∥ED,∴PN∥α,同理可证MP∥BE,∴MP∥α,∴平面MPN∥α,又MN⊂平面MPN,∴MN∥α.题型四直线、平面平行的综合应用例4 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,如图.(1)求证:平面AB1D1∥平面C1BD;(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明:A1E=EF=FC.[解] (1)证明:因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD綊B1C1,所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD,AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1=B1,AB1⊂平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图,连接A1C1交B1D1于点O1,连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1,所以点E也在平面AB1D1内,所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点;连接AC交BD于点O,连接C1O与A1C交于点F,则点F就是A1C与平面C1BD的交点.
下面证明A1E=EF=FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F.在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,所以E是A1F的中点,即A1E=EF;同理可证OF∥AE,又因为O为AC的中点,所以F是CE的中点,即CF=FE,所以A1E=EF=FC. 三种平行关系的相互转化线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的,可以进行相互转化.相互间的转化关系如图.因此判定某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程,在证明问题时要切实把握这一点,灵活地确定转化思路和方向.“平行关系”的应用是证明线线、线面、面面平行的依据.充分理解并掌握三者之间转化的判定及性质定理,并进一步理解转化的数学思想,是解决“平行关系”问题的关键所在.如图所示,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A′,B′,C′.若=,求的值.解 ∵平面α∥平面ABC,平面PAB∩平面α=A′B′,平面PAB∩平面ABC=AB,∴A′B′∥AB.同理可证B′C′∥BC,A′C′∥AC.∴∠B′A′C′=∠BAC,∠A′B′C′=∠ABC,∠A′C′B′=∠ACB.∴△A′B′C′∽△ABC.又PA′∶A′A=2∶3,∴PA′∶PA=2∶5.∴A′B′∶AB=2∶5.
∴S△A′B′C′∶S△ABC=4∶25.1.已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是( )A.m∥l,l∥α⇒m∥αB.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥βC.l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥βD.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M⇒α∥β答案 D解析 A中,m可能在α内,也可能与α平行;B中,α与β可能相交,也可能平行;C中,α与β可能相交,也可能平行;D中,l∩m=M,且l,m分别与平面β平行,依据面面平行的判定定理可知α∥β.故选D.2.设α∥β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A,B分别在平面α,β内运动时,得到无数个AB的中点C,那么所有的动点C( )A.不共面B.当且仅当A,B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.不论A,B如何移动,都共面答案 D解析 如图所示,A′,B′分别是A,B两点在α,β上运动后的两点,此时AB的中点变成A′B′的中点C′,连接A′B,取A′B的中点E.连接CE,C′E,AA′,BB′,CC′.则CE∥AA′,∴CE∥α.∵C′E∥BB′,∴C′E∥β.又α∥β,∴C′E∥α.∵C′E∩CE=E.∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.所以不论A,B如何移动,所有的动点C都在过C点且与α,β平行的平面上.3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1,CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状不可能是( )
A.矩形B.菱形C.平行四边形D.正方形答案 D解析 若点E与点A1重合,则点F与点C重合,此时四边形D1EBF是矩形;若点E在AA1的中点处,则点F也在CC1的中点处,此时四边形D1EBF是菱形但不是正方形;其他情况下为普通的平行四边形.故选D.4.如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面五个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.其中正确的结论是________.答案 ①②③④解析 还原几何体可知该几何体是一个如图所示的正四棱锥P-ABCD,逐一考查所给的命题:①易知EF∥平面ABCD,FG∥平面ABCD,且EF∩FG=F,则平面EFGH∥平面ABCD,①正确.
②设AC,BD的交点为点O,连接OG,由三角形中位线的性质可知OG∥PA,结合线面平行的判定定理可得PA∥平面BDG,②正确.③由三角形中位线的性质可知EF∥DA,又DA∥BC,故EF∥BC,∴EF∥平面PBC,③正确.④由三角形中位线的性质可知,FH∥BD,结合线面平行的判定定理可知,FH∥平面BDG,④正确.⑤由③可知EF∥BC,由于直线BC与平面BDG相交,故EF∥平面BDG不成立,⑤错误.5.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面BDF∥平面B1D1E.证明 如图所示,取BB1的中点G,连接EG,C1G,则有EG綊A1B1.又A1B1綊C1D1,∴EG綊C1D1.∴四边形EGC1D1为平行四边形.∴D1E綊GC1.又BG綊C1F,∴四边形BGC1F为平行四边形.∴BF∥GC1.∴BF∥ED1.∵BF⊄平面B1D1E,D1E⊂平面B1D1E,∴BF∥平面B1D1E.又BD∥B1D1,BD⊄平面B1D1E,B1D1⊂平面B1D1E,∴BD∥平面B1D1E.又BD∩BF=B,∴平面BDF∥平面B1D1E.
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