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8.5.3 平面与平面平行知识点一 平面与平面平行的判定定理1．文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．2．符号语言：⇒α∥β.3．图形语言：如图所示．4．作用：证明两个平面平行．知识点二 平面与平面平行的性质定理1．定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．2．符号表示：若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.3．作用：证明或判断线线平行．1．证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．2．平面与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可(1)两个平面平行，即α∥β.(2)第一个平面与第三个平面相交，即α∩γ＝a.
(3)第二个平面与第三个平面也相交，即β∩γ＝b.3．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行于同一条直线的两个平面互相平行．( )(2)如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．( )(3)若平面α，β都与平面γ相交，且交线平行，则α∥β.( )答案 (1)× (2)× (3)×2．做一做(1)若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对(2)已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是________．(3)设a，b是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列结论：①若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；②若α∥β，a∥α，a⊄β，则a∥β；③若α∥β，A∈α，过点A作直线l∥β，则l⊂α；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中所有正确结论的序号是________．(4)平面α∥平面β，直线l∥α，则直线l与平面β的位置关系是________．答案 (1)C (2)相交或平行 (3)②③④ (4)l∥β或l⊂β题型一平面与平面平行判定定理的理解例1 下列命题中正确的是( )
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④[解析] 对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在，故①错误；对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，此时两平面不一定平行．如果这无数条直线都与两平面的交线平行时，两平面可以相交，故②错误；对于③：一个平面内任何一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义，故③正确；对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理，故④正确．故选D.[答案] D 应用平面与平面平行判定定理的注意事项(1)平面与平面平行判定定理把判定面面平行转化为判定线面平行，同时应注意是两条相交直线都平行于另一平面．(2)解决此类问题，若认为命题正确，必须用相关定理严格证明；而要否定它，只需要举出一个反例，此时借用常见几何模型是非常有效的方法．设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的有( )①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④l∩m＝P，l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β.A．1个B．2个C．3个D．0个答案 A解析 ①错误，因为l，m不一定相交；②错误，一个平面内有两条直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；由面面平行的判定定理可知，④正确.
题型二平面与平面平行的判定例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[证明] (1)如图，连接B1D1，∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F，B，D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.连接MF，∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1，∴MF∥AD，MF＝AD，∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB. 线线平行、线面平行与面面平行的转化(1)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题．此即为面面平行判定定理的推论产生的依据．
(2)在转化为线面平行证面面平行时，首先观察面内已有的直线是否平行，若不平行，再利用条件有针对性地构造平面找出平行直线．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明 (1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G∥EB，A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.题型三平面与平面平行性质定理的应用例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？[解] 如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，
由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥AP.因为P为DD1的中点，所以Q为CC1的中点．故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点．求证：MN∥α.证明 若AB，CD在同一平面内，则平面ABDC与α，β的交线分别为BD，AC.∵α∥β，∴AC∥BD.∵M，N分别为AB，CD的中点，∴MN∥BD.又BD⊂α，MN⊄α，∴MN∥α.若AB，CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P
，连接MP，PN，BE，ED.∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC，且与α，β的交线分别为ED，AC.∵α∥β，∴ED∥AC.又P，N分别为AE，CD的中点，∴PN∥ED，∴PN∥α，同理可证MP∥BE，∴MP∥α，∴平面MPN∥α，又MN⊂平面MPN，∴MN∥α.题型四直线、平面平行的综合应用例4 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.[解] (1)证明：因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC交BD于点O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF∥AE，又因为O为AC的中点，所以F是CE的中点，即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC. 三种平行关系的相互转化线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行相互转化．相互间的转化关系如图．因此判定某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程，在证明问题时要切实把握这一点，灵活地确定转化思路和方向．“平行关系”的应用是证明线线、线面、面面平行的依据．充分理解并掌握三者之间转化的判定及性质定理，并进一步理解转化的数学思想，是解决“平行关系”问题的关键所在．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若＝，求的值．解 ∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.同理可证B′C′∥BC，A′C′∥AC.∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC，∠A′C′B′＝∠ACB.∴△A′B′C′∽△ABC.又PA′∶A′A＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5.∴A′B′∶AB＝2∶5.
∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.1．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )A．m∥l，l∥α⇒m∥αB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β答案 D解析 A中，m可能在α内，也可能与α平行；B中，α与β可能相交，也可能平行；C中，α与β可能相交，也可能平行；D中，l∩m＝M，且l，m分别与平面β平行，依据面面平行的判定定理可知α∥β.故选D.2．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C( )A．不共面B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动，都共面答案 D解析 如图所示，A′，B′分别是A，B两点在α，β上运动后的两点，此时AB的中点变成A′B′的中点C′，连接A′B，取A′B的中点E.连接CE，C′E，AA′，BB′，CC′.则CE∥AA′，∴CE∥α.∵C′E∥BB′，∴C′E∥β.又α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E.∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.所以不论A，B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α，β平行的平面上．3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1，CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状不可能是( )
A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形答案 D解析 若点E与点A1重合，则点F与点C重合，此时四边形D1EBF是矩形；若点E在AA1的中点处，则点F也在CC1的中点处，此时四边形D1EBF是菱形但不是正方形；其他情况下为普通的平行四边形．故选D.4．如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正确的结论是________．答案 ①②③④解析 还原几何体可知该几何体是一个如图所示的正四棱锥P－ABCD，逐一考查所给的命题：①易知EF∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，且EF∩FG＝F，则平面EFGH∥平面ABCD，①正确．
②设AC，BD的交点为点O，连接OG，由三角形中位线的性质可知OG∥PA，结合线面平行的判定定理可得PA∥平面BDG，②正确．③由三角形中位线的性质可知EF∥DA，又DA∥BC，故EF∥BC，∴EF∥平面PBC，③正确．④由三角形中位线的性质可知，FH∥BD，结合线面平行的判定定理可知，FH∥平面BDG，④正确．⑤由③可知EF∥BC，由于直线BC与平面BDG相交，故EF∥平面BDG不成立，⑤错误．5．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.证明 如图所示，取BB1的中点G，连接EG，C1G，则有EG綊A1B1.又A1B1綊C1D1，∴EG綊C1D1.∴四边形EGC1D1为平行四边形．∴D1E綊GC1.又BG綊C1F，∴四边形BGC1F为平行四边形．∴BF∥GC1.∴BF∥ED1.∵BF⊄平面B1D1E，D1E⊂平面B1D1E，∴BF∥平面B1D1E.又BD∥B1D1，BD⊄平面B1D1E，B1D1⊂平面B1D1E，∴BD∥平面B1D1E.又BD∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1E.
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