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8.4.1 平面知识点一 平面的概念平面的概念及表示(1)概念：几何里所说的“平面”是从生活中的物体中抽象出来的，是向四周无限延展的．(2)平面的画法：①常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．如图a.②在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如图b.
(3)表示法：可以用希腊字母α，β，γ等来表示；用两个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的相对的两个顶点)来表示；用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的四个顶点)来表示．知识点二 点、线、面之间的关系点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达知识点三 平面的基本性质
1．解决立体几何问题首先应过好文字语言、符号语言和图形语言三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．对于证明几点(或几条直线)共面的问题，先由其中几个点(或几条直线)确定一个平面后，再证明其他点(或直线)也在该平面内即可．3．证明三点共线通常采用以下方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个平面的公共点，由基本事实3可知这些点都在交线上；(2)先由其中任意两点确定一条直线，再证明另一点也在这条直线上．4．证明三线共点，可先由两条直线交于一点，而这个点分别在两个平面内，这两个平面的交线就是第三条直线，由基本事实3可知该点在第三条直线上，即三线共点．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行四边形是一个平面．( )(2)若A∈a，a⊂α，则A∈α.( )(3)两个平面的交线可能是一条线段．( )(4)经过一条直线和一个点，有且只有一个平面．( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．做一做(1)如图所示，用符号语言表示以下各概念：①点A，B在直线a上：________；②直线a在平面α内：________；③点D在直线b上，点C在平面α内：________.(2)若平面α与平面β相交于直线l，点A∈α，A∈β，则点A________l；其理由是__________________________．(3)根据图，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.答案 (1)①A∈a，B∈a ②a⊂α ③D∈b，C∈α (2)∈ 同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的交线上 (3)∈ ∉ ⊄ AC题型一平面概念的理解例1 (1)下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽为20m；④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为________；(2)下图中的两个相交平面，其中画法正确的是________．
[解析] (1)由平面的概念，知它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．(2)对于①，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实、虚也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，也可知②、③图形的画法不正确，④中图形的画法正确．[答案] (1)1 (2)④ 平面概念的理解及特点(1)平面是一个只描述而不定义的原始概念，它是由平时生活中常见的平面抽象出来的，是理想的，是无限延展的，是无厚薄、大小的．(2)要注意平面具有如下特点：①平面是平的；②平面是没有厚度的；③平面是无限延展而没有边界的；④平面是由空间的点、线组成的无限集合；⑤平面图形是空间图形的重要组成部分．下列四种说法正确的是________．①平面的形状是平行四边形；②任何一个平面图形都可以表示平面；③平面ABCD的面积为100cm2；④空间图形中，后作的辅助线都是虚线．答案 ②解析 ①错误，通常用平行四边形表示平面，但平面的形状不一定是平行四边形；③错误，平面不能度量；④错误，看不到的线画成虚线.题型二文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例2 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[解] (1)P∈AB.(2)C∉AB.(3)M∈平面AC.(4)A1∉平面AC.(5)AB∩BC＝B.(6)AB⊂平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝AB. 三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．(1)把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．①A∉α，a⊂α：________；②α∩β＝a，P∉α且P∉β：________；③a⊄α，a∩α＝A：________；④α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：________.(2)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．①A∈α，B∉α；②l⊂α，m∩α＝A，A∉l；③P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.答案 (1)①C ②D ③A ④B (2)见解析解析 (2)①点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.②直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.③直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.
题型三线共面问题例3 已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交，求证：直线a，b，c共面．[证明] ∵b∥c，∴不妨设b，c共面于平面α，设a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈a，B∈a，A∈b，B∈c，又b⊂α，∴A∈α，同理B∈α，即a⊂α，∴三线共面．[条件探究] 在本例中，若直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，又该如何证明直线a，b，c，l共面？证明 如图所示．∵a∥b，∴a，b可确定一个平面α.又l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，A∈α，B∈α.∴AB⊂α.又A∈l，B∈l，∴l⊂α.又b∥c，∴b，c可确定一个平面β.同理l⊂β.∵平面α，β均经过直线b，l，且b和l是两条相交直线，∴l与b确定的平面是唯一的．∴a，b，c，l四线共面． 证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．下列说法中正确的是( )A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内答案 D
解析 经过同一条直线上的三点有无数个平面，故A不正确；当两两相交的三条直线相交于一点时，可能确定三个平面，故B不正确；有三个角为直角的四边形不一定是平面图形，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ACC1D1满足∠ACC1＝∠CC1D1＝∠C1D1A＝90°，但四边形ACC1D1不是平面图形，故C不正确；和同一条直线相交的三条平行直线一定共面，故选D.题型四点共线问题例4 如图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R.求证：P，Q，R三点在同一条直线上．[证明] 证法一：由已知AB的延长线交平面α于点P，根据基本事实3，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为l.∵P∈直线AB，∴P∈平面ABC.又AB∩α＝P，∴P∈平面α，∴P是平面ABC与平面α的公共点．∵平面ABC∩α＝l，∴P∈l.同理，Q∈l，R∈l.∴P，Q，R三点在同一条直线l上．证法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．
点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.此类问题的证明常用以下两种方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上；(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．证明 ∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.∴M，N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线.题型五线共点问题例5 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点．[证明] 如图，连接PQ.
由B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1，得PQ∥B1C1，且PQ＝B1C1.又BC綊B1C1，∴PQ∥BC，且PQ＝BC，∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交，设交点为R，则R∈BP，R∈CQ.又BP⊂平面AA1B1B，CQ⊂平面AA1C1C，∴R∈平面AA1B1B，且R∈平面AA1C1C，∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线上，即R∈AA1，∴直线AA1，BP，CQ相交于一点． 证明线共点问题的步骤证明三线共点的思路是：先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这个点，把问题归结为证明点在直线上的问题．在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝1∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．证明 如图所示，连接GE，HF.∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC.
又DF∶FC＝DH∶HA＝1∶3，∴HF∥AC，∴GE∥HF，∴G，E，F，H四点共面．又GE＝AC，＝＝，∴EF与GH不平行，∴EF与GH相交．延长EF，GH，设交点为O，则O∈平面ABD，O∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD.即EF，GH，BD交于一点O.1．在空间中，下列结论正确的是( )A．三角形确定一个平面B．四边形确定一个平面C．一个点和一条直线确定一个平面D．两条直线确定一个平面答案 A解析 空间四边形不能确定一个平面，因此B错误；若点在直线上，则有无数个平面，因此C错误；若两条直线重合，则有无数个平面，因此D错误．2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对答案 C解析 若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．3．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )A．0B．1C．0或1D．1或3答案 D解析 当三条互相平行的直线共面时，可确定1个平面；当三条互相平行的直线不共面时，可确定3个平面．4．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)AC∩BD＝________；(2)平面AB1∩平面A1C1＝________；(3)A1B1∩B1B∩B1C1＝________.答案 (1)O (2)A1B1 (3)B1解析 (1)AC，BD同在平面ABCD中，交于点O.(2)平面AB1与平面A1C1相交，交线为A1B1.(3)A1B1，B1B，B1C1三条直线交于一点B1.5．如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1，BB1，CC1交于一点．证明 如图所示，∵B1C1∥BC，∴B1C1与BC确定一个平面，记为平面β.同理，将C1A1与CA所确定的平面记为平面γ.易知β∩γ＝C1C.∵△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，∴AA1与BB1相交，设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.而AA1⊂γ，BB1⊂β，∴P∈γ，P∈β，∴P在平面β与平面γ的交线上．又β∩γ＝C1C，∴P∈C1C，∴AA1，BB1，CC1交于一点．
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