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6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．(2)平面向量的坐标表示知识点二 平面向量加、减运算的坐标运算
1．在直角坐标平面内，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)．2．平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；应把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有起点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等．3．符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)．特别注意：向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．4．(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(3)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(4)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与x轴平行的向量的纵坐标为0；与y轴平行的向量的横坐标为0.( )(2)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )(3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )(4)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．做一做(1)已知＝(－2,4)，则下列说法正确的是( )A．A点的坐标是(－2,4)B．B点的坐标是(－2,4)C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)(2)已知＝(1,3)，且点A(－2,5)，则点B的坐标为( )A．(1,8)B．(－1,8)C．(3，－2)D．(－3,2)(3)若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则a＋b的坐标是( )A．(1,1)B．(－3，－1)C．(3,1)D．(2,0)(4)若点M(3,5)，点N(2,1)，用坐标表示向量＝________.答案 (1)D (2)B (3)C (4)(－1，－4)题型一平面向量的正交分解及坐标表示例1 (1)已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中正确结论的个数是( )A．1B．2C．3D．4(2)如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标以及与的坐标．[解析] (1)由平面向量基本定理，知①正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．(2)由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝，y1＝sin30°＝，∴B.x2＝cos120°＝－，y2＝sin120°＝，∴D.∴＝，＝.[答案] (1)A (2)见解析 求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．(1)如图，{e1，e2}是一个正交基底，且e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，则向量a
的坐标为( )A．(1,3)B．(3,1)C．(－1，－3)D．(－3，－1)(2)已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，①求向量的坐标；②若B(，－1)，求的坐标．答案 (1)A (2)见解析解析 (1)由图可知a＝e1＋3e2，又e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，则a＝(1,3)．故选A.(2)①设点A(x，y)，则x＝4cos60°＝2，y＝4sin60°＝6，即A(2，6)，故＝(2，6)．②＝(2，6)－(，－1)＝(，7).题型二平面向量加、减运算的坐标表示例2 (1)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向量＋＝________，－＝________；(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标．[解析] (1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，∴＝(1,5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)．
∴＋＝(1,5)＋(4，－1)＝(1＋4,5－1)＝(5,4)．－＝(－5，－4)－(1,5)＝(－5－1，－4－5)＝(－6，－9)．(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)．[答案] (1)(5,4) (－6，－9) (2)见解析 平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量加、减的坐标运算可完全类比数的运算进行．(1)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b的坐标；(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝，＝，求M，N及的坐标．解 (1)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)，a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)．(2)由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，可得＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝(x1＋3，y1＋4)＝(1,8)，x1＝－2，y1＝4；＝(x2＋3，y2＋4)＝(6,3)，x2＝3，y2＝－1，所以M(－2,4)，N(3，－1)，＝(3，－1)－(－2,4)＝(5，－5).
题型三平面向量加、减坐标运算的应用例3 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，用向量的方法证明：DE∥BC.[证明] 如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设||＝1，则||＝1，||＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴＝，∴∥，即DE∥BC.通过建立平面直角坐标系，可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对都表示一个向量．因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标后，可使向量运算代数化，将数和形结合起来，从而将几何问题转化为代数问题来解决．
已知平行四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次为(3，－1)，(1,2)，(m,1)，(3，n)．求msinα＋ncosα的最大值．解 ∵四边形ABCD为平行四边形，则＝，即(3－3，n＋1)＝(m－1,1－2)，即得m＝1，n＝－2，得msinα＋ncosα＝sinα－2cosα＝sin(α＋φ)，其中tanφ＝－2，故msinα＋ncosα的最大值为.1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a＋b＝( )A．(1,6)B．(5,4)C．(1，－6)D．(－6,5)答案 A解析 a＋b＝(3,5)＋(－2,1)＝(3－2,5＋1)＝(1,6)．2．已知向量＝(1，－2)，＝(－3,4)，则＝( )A．(－4,6)B．(2，－3)C．(2,3)D．(6,4)答案 A解析 ＝－＝(－3,4)－(1，－2)＝(－4,6)．3．如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)解析 将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0·j，∴a
＝(－4,0)；b＝0·i＋6j，∴b＝(0,6)；c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．4．在平面直角坐标系中，|a|＝2，a的方向相对于x轴正方向的逆时针转角为135°，则a的坐标为________．答案 (－2,2)解析 因为|a|cos135°＝2×＝－2，|a|·sin135°＝2×＝2，所以a的坐标为(－2,2)．5．在平面直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图所示，已知|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分别求向量a，b的坐标．解 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由于∠AOx＝45°，所以a1＝|a|cos45°＝4×＝2，a2＝|a|sin45°＝4×＝2.由已知可以求得向量b的方向相对于x轴正方向的逆时针转角为120°，所以b1＝|b|cos120°＝3×＝－，b2＝|b|sin120°＝3×＝.故a＝(2，2)，b＝.
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