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A级:“四基”巩固训练一、选择题1.已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等,则球O的半径为(  )A.B.C.D.答案 D解析 设球O的半径为r,则πr3=23,解得r=.2.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为(  )A.B.C.8πD.答案 C解析 设球的半径为R,则截面圆的半径为,∴截面圆的面积为S=π()2=(R2-1)π=π,∴R2=2,∴球的表面积S=4πR2=8π.3.一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3,4,5,则它的外接球的表面积是(  )A.20πB.25πC.50πD.200π答案 C解析 因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角(如图所示),而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球.设此三棱锥的外接球的半径为r,则有(2r)2=32+42+52=50,即4r2=50,故它的外接球的表面积是S=4πr2=50π.4.如图所示,扇形的中心角为,其所在圆的半径为R,弦AB将扇形分成两个部分,这两部分各以AO为轴旋转一周,若△ABO旋转得到的几何体体积为V1,弓形AB旋转得到的几何体积为V2,则V1∶V2的值为(  ) A.1∶1B.2∶1C.1∶2D.1∶4答案 A解析 △AOB绕AO旋转一周得到的几何体为圆锥,体积V1=πR3,整个扇形绕AO旋转一周得到的几何体为半球,体积V=πR3,于是V2=V-V1=πR3.5.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积为,那么这个正三棱柱的体积是(  )A.96B.16C.24D.48答案 D解析 设正三棱柱的底面边长为a,则球的半径R=×a=a,正三棱柱的高为a.又V球=πR3=×a3=.∴a=4.∴V柱=×(4)2××4=48.二、填空题6.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是________cm.答案 4解析 设球的半径为r,则圆柱形容器的高为6r,容积为πr2×6r=6πr3,高度为8cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3=4πr3,由题意6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4cm. 7.已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于________.答案 16π解析 设球O的半径为R,圆M的半径为r,由题意得r=,又球心到圆M的距离为,由勾股定理,得R2=r2+2,R=2,则球的表面积为16π.8.已知两个正四棱锥有公共底面,且底面边长为4,两棱锥的所有顶点都在同一个球面上,若这两个正四棱锥的体积之比为1∶2,则该球的表面积为________.答案 36π解析 ∵两正四棱锥有公共底,且体积比为1∶2,∴它们的高之比为1∶2,设高分别为h,2h,球的半径为R,则h+2h=3h=2R,∴R=h,又∵底面边长为4,∴R2=2=2+(2)2,解得h=2,∴R=3,∴S球=4πR2=36π.三、解答题9.如图,AB是半径为R的球的直径,C为球面上一点,且∠BAC=30°,求图中阴影区域构成的几何体的全面积及其体积.解 如图所示,过点C作CO1⊥AB于点O1,由题意可得∠BCA=90°.又∠BAC=30°,AB=2R, ∴AC=R,BC=R,CO1=R,AO1=R,BO1=.∴S球=4πR2,S圆锥AO1侧=π×R×R=πR2,S圆锥BO1侧=π×R×R=πR2,∴S几何体表=S球+S圆锥AO1侧+S圆锥BO1侧=4πR2+πR2+πR2=πR2,∴几何体的表面积为πR2.又V球=πR3,V圆锥AO1=AO1·πCO=πR3,V圆锥BO1=BO1·πCO=πR3,∴V几何体=V球-(V圆锥AO1+V圆锥BO1)=πR3-πR3=πR3.B级:“四能”提升训练1.已知正三棱柱的体积为3cm3,其所有顶点都在球O的球面上,则球O的表面积的最小值为________cm2.答案 12π解析 球O的表面积最小时,球O的半径R最小.设正三棱柱的底面边长为a,高为b,则正三棱柱的体积V=a2b=3,所以a2b=12.底面正三角形所在截面圆的半径r=a,则R2=r2+2=+=×+=+=++≥3=3,当且仅当=,即b=2时,取等号.又因为0 查看更多

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