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A级:“四基”巩固训练一、选择题1.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角的平面角的大小是(  )A.60°B.120°C.60°或120°D.不确定答案 C解析 若点P在二面角内,则二面角的平面角为120°;若点P在二面角外,则二面角的平面角为60°.2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是(  )A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β答案 C解析 ∵n⊥β,m∥n,∴m⊥β,又m⊂α,由面面垂直的判定定理可得α⊥β.3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,则二面角C-BD-C1的大小是(  )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 A解析 如图,过点C作CE⊥BD于E,连接C1E,则∠CEC1为二面角C-BD-C1的平面角,由等面积公式得CE==,tan∠CEC1===,因为0°≤∠CEC1≤180°,所以∠CEC1=30°.4.如图,在立体图形D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列说法中正确的是(  ) A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDEC.平面ABD⊥平面BDCD.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE答案 B解析 由条件得AC⊥DE,AC⊥BE,又DE∩BE=E,∴AC⊥平面BDE,又AC⊂平面ADC,AC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面BDE,平面ADC⊥平面BDE,故选B.5.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PC⊥BC,PC⊥AC,点E,F,G分别是所在棱的中点,则下面结论中错误的是(  )A.平面EFG∥平面PBCB.平面EFG⊥平面ABCC.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角答案 D解析 A正确,∵点E,F,G分别是所在棱的中点,∴GF∥PC,GE∥CB,∵GF∩GE=G,PC∩CB=C,∴平面EFG∥平面PBC;B正确,∵PC⊥BC,PC⊥AC,PC∥GF,∴GF⊥BC,GF⊥AC,又BC∩AC=C,∴GF⊥平面ABC,∴平面EFG⊥平面ABC;C正确,易知EF∥BP,∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角;D错误,∵GE与AB不垂直,∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角.二、填空题6.如图所示,一山坡的坡面与水平面成30°的二面角,坡面上有一直道AB,它和坡脚的水平线成30°的角,沿这山路行走20m后升高_________m. 答案 5解析 如图,过B作BH⊥水平面,过H作HC⊥坡脚线,连接BC,则∠BAC=30°,由BH⊥AC,HC⊥AC,BH∩HC=H,知AC⊥平面BHC,从而BC⊥AC,所以∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角,所以∠BCH=30°,在Rt△ABC和Rt△BCH中,因为AB=20m,所以BC=AB·sin30°=10m,所以BH=BC·sin30°=5m.7.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则BC=________.答案 1解析 ∵AD⊥BC,∴BD⊥AD,CD⊥AD,∴∠BDC为平面ABD与平面ACD所成二面角的平面角,∴∠BDC=90°,又AB=AC=1,∠BAC=90°,∴BD+CD==,∴BD=CD=,折叠后,在Rt△BDC中,BC==1.8.如图,点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下面四个结论:①三棱锥A-D1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1. 其中正确的结论的序号是________(写出所有你认为正确结论的序号).答案 ①②④解析 连接AC,A1C1,A1B,AD1,D1C.因为AA1∥CC1,AA1=CC1,所以四边形AA1C1C是平行四边形,所以AC∥A1C1.又因为AC⊄平面A1BC1,A1C1⊂平面A1BC1,所以AC∥平面A1BC1.同理可证AD1∥平面A1BC1,又因为AC⊂平面ACD1,AD1⊂平面ACD1,且AC∩AD1=A,所以平面ACD1∥平面A1BC1.因为A1P⊂平面A1BC1,所以A1P∥平面ACD1,故②正确.因为BC1∥AD1,所以BC1∥平面ACD1,所以点P到平面ACD1的距离不变.又因为VA-D1PC=VP-ACD1,所以三棱锥A-D1PC的体积不变,故①正确.连接DB,DC1,DP,因为DB=DC1,所以当P为BC1的中点时才有DP⊥BC1,故③错误.因为BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥BB1.又因为AC⊥BD,BB1∩BD=B,所以AC⊥平面BB1D1D.连接B1D,又因为B1D⊂平面BB1D1D,所以B1D⊥AC.同理可证B1D⊥AD1.又因为AC⊂平面ACD1,AD1⊂平面ACD1,AC∩AD1=A,所以B1D⊥平面ACD1.又因为B1D⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,故④正确.三、解答题9.如图,在三棱锥S-ABC中,SC⊥平面ABC,点P,M分别是SC和SB的中点,设PM=AC=1,∠ACB=90°,直线AM与直线PC所成的角为60°.(1)求证:平面MAP⊥平面SAC;(2)求二面角M-AC-B的平面角的正切值.解 (1)证明:∵SC⊥平面ABC,∴SC⊥BC,又∠ACB=90°,∴AC⊥BC,又AC∩SC=C,∴BC⊥平面SAC,又P,M分别是SC,SB的中点,∴PM∥BC,∴PM⊥平面SAC,又PM⊂平面MAP,∴平面MAP⊥平面SAC.(2)同(1),可证AC⊥平面SBC,∴AC⊥CM,AC⊥CB,从而∠MCB为二面角M-AC-B的平面角,∵直线AM与直线PC所成的角为60°, ∴过点M作MN⊥CB于点N,连接AN,如图所示,∴MN∥PC,则∠AMN=60°,在Rt△CAN中,CN=PM=1,AC=1,由勾股定理得AN=.在Rt△AMN中,MN==·=.在Rt△CNM中,tan∠MCN===,故二面角M-AC-B的平面角的正切值为.B级:“四能”提升训练 在直角梯形ABCD中,∠D=∠BAD=90°,AD=DC=AB=a(如图所示),将△ADC沿AC折起,将D翻到D′,记平面ACD′为α,平面ABC为β,平面BCD′为γ.(1)若二面角α-AC-β为直二面角,求二面角β-BC-γ的大小;(2)若二面角α-AC-β为60°,求三棱锥D′-ABC的体积.解 (1)在直角梯形ABCD中,由已知得△DAC为等腰直角三角形,∴AC=a,∠CAB=45°.如图所示,过C作CH⊥AB,垂足为H,则AH=CH=a.又AB=2a,∴BH=a,BC=a,∵AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.取AC的中点E,连接D′E, 则D′E⊥AC.∵二面角α-AC-β为直二面角,∴D′E⊥β.又∵BC⊂平面β,∴BC⊥D′E.∵AC∩D′E=E,∴BC⊥α.而D′C⊂α,∴BC⊥D′C,∴∠D′CA为二面角β-BC-γ的平面角.由于∠D′CA=45°,∴二面角β-BC-γ为45°.(2)如图所示,过D′作D′O⊥β,垂足为O,连接OE,∵AC⊂β,∴D′O⊥AC.又由(1)可知AC⊥D′E,D′O与D′E相交于点D′,∴AC⊥平面D′EO.∴AC⊥OE.∴∠D′EO为二面角α-AC-β的平面角,∴∠D′EO=60°.在Rt△D′OE中,D′E=AC=a,D′O=D′E=a.∴V三棱锥D′-ABC=S△ABC·D′O=×AC·BC·D′O=×a×a×a=a3. 查看更多

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