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A级：“四基”巩固训练一、选择题1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( )A．平行B．相交C．异面D．垂直答案 A解析 ∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又m⊂α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是( )A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定答案 D解析 直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直，或直线l在平面α内，或直线l与平面α相交，都有可能．3．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直答案 C解析 在题图1中，AD⊥BC，故在题图2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面，故选C.4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是( )A.B．2C．3D．4答案 D解析 如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CB
.又PA∩PD＝P，PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.又AC＝AB，∴D为BC中点．在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4.5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段答案 A解析 如图所示，易知BD1⊥平面AB1C，故当点P在平面AB1C内时，总保持AP⊥BD1，又点P在侧面BCC1B1内，且B1C为平面AB1C和平面BCC1B1的交线，故点P一定位于线段B1C上．二、填空题6．在四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点，若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1.则EF的长度为________．答案 或解析 如图①，取BC的中点O，连接OE，OF，∵OE∥AC，OF∥BD，∴OE与OF所成的角即为AC与BD所成的角．而AC，BD所成的角为60°， ∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.
当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝.当∠EOF＝120°时，如图②，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×＝.7．如图所示，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析 ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF，故①②③正确．8.如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．答案 4解析 对于①，∵AC⊥BD，且SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，①正确；对于②，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，
∴AB∥平面SCD，②正确；对于③，∵SD⊥平面ABCD，∴AD是SA在平面ABCD内的射影，∴∠SAD是SA与平面ABCD所成的角，③正确；对于④，∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，④正确，故正确的有4个．三、解答题9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小；(2)求直线AB1和EF所成的角的大小．解 (1)如图，连接DC1.∵DC1∥AB1.∴DC1和CC1所成的角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角．∵∠CC1D＝45°，∴直线AB1和CC1所成的角为45°.(2)连接DA1，A1C1.∵EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角．∵△A1DC1是等边三角形，∴∠A1DC1＝60°，即直线AB1和EF所成的角为60°.B级：“四能”提升训练1．如图，已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有( )A．8对B．7对C．6对
D．5对答案 B解析 依题意可知，平面PAD，平面PBD，平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBD，共7对．2．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．(1)求证：EF⊥平面PAB；(2)设AB＝BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值．解 (1)证明：连接BE，EP.由题意知∠PDE＝∠BCE＝90°，因为ED＝CE，PD＝AD＝BC，所以Rt△PDE≌Rt△BCE，所以PE＝BE.因为F为PB的中点，所以EF⊥PB.因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AB，因为DA⊥AB，PD∩AD＝D，所以AB⊥平面PAD，所以PA⊥AB.在Rt△PAB中，因为PF＝BF，所以PF＝AF.又因为PE＝BE＝EA，所以△EFP≌△EFA，所以EF⊥FA.因为PB∩AF＝F，所以EF⊥平面PAB.(2)不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝，PA＝，AC＝.所以△PAB为等腰直角三角形，且PB＝2.因为F是PB的中点，所以BF＝1，AF⊥PB.因为AF∩EF＝F，所以PB⊥平面AEF.
设BE交AC于点G，过点G作GH∥PB交EF于点H，则GH⊥平面AEF.故∠GAH为AC与平面AEF所成的角．由△EGC∽△BGA可知，EG＝GB，AG＝2CG，所以EG＝EB，AG＝AC＝.由△EGH∽△EBF，可知GH＝BF＝.所以sin∠GAH＝＝，所以AC与平面AEF所成角的正弦值为.
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