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第2课时平面与平面垂直的判定课前主动先学1.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做，这条直线叫做，这两个半平面叫做，若棱为，面分别为、的二面角记作.(二面角,二面角的棱,二面角的面,)2.在二面角的棱上任取一点,以为,在半平面和内分别作垂直于棱的射线和,则叫做.二面角的大小可以用它的来度量,其范围是.(垂足,二面角的平面角,平面角,)3.两个平面相交,如果它们所成的二面角是直角,就说.(这两个平面互相垂直)4.两个平面互相垂直的判定定理:若一个平面过另一个平面的,则这两个平面.(垂线,垂直)先学先练1.过空间一点的三条直线两两垂直,则它们确定的平面互相垂直的对数有(D)..0.1.2.32.对于直线、和平面、能得出⊥的一个条件是(C)..⊥,∥,∥.⊥,,.∥,⊥,.∥,⊥,⊥,3.如图,已知垂直矩形所在的平面,图中互相垂直的平面有(B).DPABC第3题.2对.3对.4对.5对4.在锐角二面角中,,若到的距离是到的距离的倍,则二面角的大小为.课堂互动探究例1如图，将边长为的正三角形以它的高为折痕折成一个二面角．7
例1图图（2）（１）指出这个二面角的面、棱、平面角；（２）若二面角是直二面角，求的长；（３）求与平面所成的角；分析：根据问题及图形依次解决．解：（１）因为二面角的面为和面，棱为，二面角的平面角为．（２）若，．（３）平面，为与平面所成的角．在直角三角形中，，于是．例2河堤斜面与水平面所成角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿着这条直道从堤角向上行走到10米时，人升高了多少（精确到0.1米）？例2图分析：已知所求河堤斜面与水平面所成角为60°E到地面的距离利用E或G构造棱上一点F以EG为边构造三角形解：取CD上一点E，设CE＝10m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度．7
在河堤斜面内，作EF⊥AB．垂足为F，连接FG，可知FG⊥AB．因此，∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，∠EFG＝60°．由此得EG＝EFsin60°＝CEsin30°sin60°＝10××≈4.3（m）.答：沿着直道向上行走到10米时，人升高了约4.3米．例3如图，是⊙的直径，垂直于⊙所在的平面，是圆周上异于、的任意一点，求证：平面平面．例3图图（3）分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理．由于点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直．证明：因为是⊙的直径，是圆周上的点，所以有……①．因为平面，平面，则………②．由①②及，得平面,因为平面，有平面平面．随堂练习1.在所在平面外有一点，已知，与底面所成角为，二面角的大小为，且．求二面角的大小．第1题答案：如图所示，作平面于，连结并延长交于，连结．因为平面，所以是与平面所成角，．因为平面，，所以，,所以是二面角的平面角，．因为，所以．又因为，所以平面，所以平面平面，所以二面角的大小为．2.如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC，求证：面ABD⊥面ABC.7
第2题答案:取AB中点O，连接CO、DO,设CD＝AC＝,则DO＝CO＝AB＝,所以在△COD中，,所以∠COD＝DO⊥CO,在等腰直角△ABD中O为AB中点,所以DO⊥AB,AB、CO平面ABC，AB∩CO=O,DO⊥平面ABC且DO平面ABD,所以平面ABD⊥平面ABC.第3题3.在四面体ABCD中，AB＝AD＝BD＝2，BC＝DC＝4，二面角A－BD－C的大小为60°，求AC的长．答案：取BD中点E，连结AE，EC,因为AB＝AD，BC＝DC,所以AE⊥BD，EC⊥BD,所以∠AEC为二面角A－BD－C的平面角,所以∠AEC＝60°,因为AD＝2，DC＝4,所以AE＝，EC＝,所以据余弦定理得：AC＝.课后复习本节我们学习了两个平面垂直的定义、画法及判定方法．判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理．如何应用两个平面垂直的判定定理，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题是本节关键.课时作业一、选择题1.二面角指的是( C )A.两个平面相交所组成的角B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形C.一条直线出发的两个半平面组成的图形D.两个平面所夹的不大于90°的角2.α、β、γ、ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则( B )A.α∥β且γ∥ω7
B.α∥β或γ∥ωC.这四个平面中可能任意两个都不平行D.这四个平面中至多有一对平面平行3.已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α，则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是( C )A.0 B.1 C.2 D.34.如图,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( A )第4题A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两都垂直C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直5.如图,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,若沿AD折成直二面角,则A到BC的距离是( C )第5题A.1 B. C. D.6.线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为（ C ）7
A.30° B.45° C.60° D.120°二填空题7．将单位正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC与面BCD所成的角为.45° 8．在60°的二面角的一个面内有一个点，它到棱的距离是8，那么它到另一个面的距离是.9．自二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角的大小关系是.答案：互补10．已知二面角的平面角是锐角内一点C到的距离为3，点C到棱的距离为4，那么的值为.三、解答题第11题11.设在平面内的射影是直角三角形的斜边的中点，，求（1）与平面所成角的大小；（2）二面角的大小.答案:（1）因为面，所以，所以为与面所成角．因为，所以，所以，所以，所以，即与平面所成角的大小为．（2）取中点，连接，所以．因为，所以．又因为面，所以，所以为二面角的平面角,又因为，因为，所以．所以．即二面角的大小为．7
12.已知：如图，平面平面，，在上取线段，，分别在平面和平面内，且，，，，求长．第12题答案:连结,因为，所以，．因为，所以，．所以是直角三角形．在中，，在中，．所以长为．7
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