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第二章2.32.3.2基础巩固一、选择题1.下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线Q,b分别和一个二而角的两个而垂直，则d,〃所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是（）A.①③B.②④C.③④D.①②［答案］B［解析］对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于Q,b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角（或直角），所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B.［点评］根据二面角的相关概念进行分析判定.2.已知直线/丄平面a,则经过/且和a垂直的平面（）A.有1个B.有2个C.有无数个D.不存在［答案］C|解析］经过/的平面都与G垂直，而经过/的平面有无数个，故选C・3.以下三个命题中，正确的命题有（）①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；③分别在二面角的两个半平血内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小A.0个B・1个C.2个D.3个［答案］B［解析］仅②正确.4.己知a,0是平面，加、”是直线，给出下列表述：①若加丄a,tnU卩,则a丄“；②若mUa,nUa,〃?〃“，“〃0,则a〃“；③如果nda,m,n是异面直线，那么〃与a相交；④若a0卩=m,n//m,且nQa,胆卩,贝n//a且〃〃
其中表述正确的个数是（）
［答案1B［解析］①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，加，»不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n//at所以③不正确;④中，由于n//m,nQa,加Uq,则n//a,同理n//P，所以④正确.5.在二面角a-1-p中，力3丄平面〃于3,3C丄平面么于C,若AB=6,BC=3,则二面角a-1-p的平面角的大小为（）A.30°B.60°C.30。或150°D.60。或120°［答案］D［解析］如图，'：AB丄0,:.AB丄/,•:BC丄久:・BC丄/,・•・/丄平面ABC,设平面ABCHl=Df则ZADB为二面角0-1-卩的平面角或补角,•：4B=6,BC=3,・・.Z3/C=30。，/.ZADB=60\・•・二面角大小为60。或120°.6.（2015-福建泉州质51检测）在正四面体P-ABC中，D,E,F分别是肋，BC,C4的B・DF丄PAED.平面刃E丄平面ABC中点，则下面四个结论中不成立的是（）A.BC〃平面PDFC.平面PDF丄平^ABC［答案1Cp［解析1可画出对应图形，如图所示，则BC〃DF,又DFU平面PDF,BCQ平面PDF,.'.BC〃平面PDF,故A成立；由/E丄BC,PE丄BC,BC//DF,知DF丄AE,DF丄PE,・・.DF丄平面故B成立；又DFU平面ABC,・：平面ABC丄平面刃E,故D成立.二、填空题7.在三棱锥P-ABC中，已知刃丄PB,PBLPC,PC-LPA,如右图所示，则在三棱锥P-ABC的四个面屮,1答案］3
［解析］・.・R4丄FE,PALPC,PBCPC=P,
•••刃丄平面PBC,•••Qiu平面丹庆刊u平面丹C,•••平面丹3丄平面Q5C,平面丹C丄平面同理可证：平面丹3丄平面丹C.8.如下图所示，在长方体ABCDSBCDi中，BC=2,AA{=\.£,F分别在4□和BC上，REF//AB,若二面角C-EF-C等于45。，则-41A［答案］1［解析］'：AB丄平面BC\,GFU平面BC\,CFU平面BC\,:.AB丄Cf,AB丄CF,又EF〃AB、:.C\F丄EF,CF1EF,・・・ZCiFC是二面角Cx-EF-C的平面角，.\ZC|FC=45°,•••△FCC］是等腰直角三角形，:.CF=CC1=AAl=l,又BC=2,:.BF=BC~CF=2-1=1.三、解答题9.（2013-山东）如图，四棱锥P-ABCD中，丄AC,MB丄刊，AB//CD,E,F,G,M,N分别为PB,4B,BC,PD,PC的中点.求证：平面EFG丄平面EMN.［分析］本题可以根据已知条件证明力3丄平EFG,然后利用MN//AB得到平面EFG丄平面EMN.［证明］因为E,F分别为PB,的中点，所以EF//PA.又4B丄R4,所以SB丄EF.同理可证丄FG.又EFCFG=F,EFU平面EFG,FGU平面EFG,因此丄平面EFG.又M,N分别为PZ),PC的中点，所以MN〃CZ).
又AB"CD,所以MN//AB,因此MN丄平面EFG.又MNU平面EMN,所以平面£FG丄平面EMN.10.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为。的正方形，侧棱PD=a,PA=PC=£a,(1)求证：PD丄平面4BCD；(2)求证：平面丹C丄平面(3)求二面角P—AC—D的正切值.［解析］(l)・・・PD=d,DC=a,PC=yf2at:.PC1=PD1+DC1J・・・加丄DC.同理可证PD丄4D,又4DCDC=D,:・PD丄平面ABCD・⑵由⑴知"丄平面ABCD,・・・PD丄AC,而四边形ABCD是正方形，:.AC丄BD,夫BDCPD=D,:.AC丄平面PDB.同时，/CU平面丹C,・•・平面E1C丄平面PBD.4B(3)设ACQBD=O9连接PO.由PA=PC,知POLAC.又由QO丄AC,故APOD为二面角P-AC-D的平面角・易知OD=斗-么在RtAPZ)O中，tanZPOD能力提升一、选择题
1.设直线加与平而2相交但不垂直，则下列说法中，正确的是（）A.在平面a内有且只有一条直线与直线加垂直B.过直线加有且只有一个平面与平面a垂直C.与直线加垂直的直线不可能与平面。平行D.与直线加平行的平面不可能与平面。垂直［答案］B［解析］由题意，加与Q斜交，令其在Q内的射影为〃7’，则在G内可作无数条与〃7’垂直的直线，它们都与加垂直，A错；如图示（1）,在幺外，可作与G内直线/平行的直线,C错；如图（2）,mUp,匕丄0.可作〃的平行平面？，则m//y且y丄a,D错.2.把正方形ABCD沿对角线3D折成直二面角，则△血（7是（）A.正三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形［答案］A［解析］设正方形边长为1,/C与相交于0,则折成直二面角后，AB=BC=lfAC=寸CO?+/0?=寸（¥）?+（¥）2=1,则是正三角形.3.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二而角的平面角的关系是（）A.相等B.互补C.互余D.无法确定［答案］B［解析］如图，BD、CD为AB.AC所在平面与a、0的交线，则ZBDC为二面角。一/—”的平面角.且ZABD=ZACD=90°,:.ZA+ZBDC=\S0°.
1.如图，在正方形ABCD+，E、F分别是BC、CQ的屮点，G是EF的屮点，现在沿)A.丄所在平而C.丄ZUEF所在平面B./G丄所在平面D.HG丄△MEF所在平面AE、及EF把这个正方形折成一个空间图形，使3、C、D三点重合，重合后的点记为H,那么，在这个空间图形中必有(［答案］A［解析］由平面图得：4H丄HE,4H丄HF,:.AH丄平面HEF,・••选A.二、填空题5.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AC=BC=2,PC=1,仙=2书,则二面角P_AB—C的大小为.［答案］60°［解析］取力3中点M,连接PM,MC,则PM丄如9,CM丄4B,/.ZPMC就是二面角P-AB-C的平面角.在△刃B中，PM=d_(萌)2=i,同理MC=1,则是等边三角形，/.ZPA/C=60°.6.(1)若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是(2)若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角大小关系为.［答案I⑴相等或互补(2)不定［解析I(2)易误答相等或互补，想象门的开关，构造符合题意的模型即可.三、解答题
6.(2015-湖南卷)(本小题满分12分)如下图，直三棱柱ABC-A.B.C,的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC］的中点.(I)证明：平面/EF丄平面B\BCC\；(II)若直线A\C与平面4SBB1所成的角为45°,求三棱锥F-AEC的体积.［答案］(I)略;(II)習［分析1(I)首先证明4E丄BB\,4E丄BC,得到M丄平面B\BCC\,利用面面垂直的判定与性质定理可得平而/EF丄平而B\BCC\；(II)设的中点为D,证明角ZC4Q为直线与平面A.ABB,所成的角，由题设知ZC4Q=45。，求出棱锥的高与底面积即可求解儿何体的面积.［解析］(I)如图，因为三棱柱ABC—4\B\C\是直三棱柱，所以/E丄B5，又E是正三角形的边BC的中点，所以/E丄3C,因此/E丄平面B、BCC\,而/EU平面AEF,所以平面/EF丄平面B\BCC\.(II)设的中点为D,连接A.D9CD,因为△M3C是正三角形，所以CD丄又三棱柱ABC-AxByCx是直三棱柱，所以CD±AAlt因此CQ丄平面于是ZC4Q为直线4C与平面所成的角，由题设知ZCAlD=45°9在RtAAAiD中，AAj^A^-AD2=^3-1=^2,所以FC=~^AA|=^2，故三棱锥F-AEC的体积V=^SAECXFC=|XX7.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面MCD是边长为1的菱形，ZBCD=60。,E是
CD的中点，刃丄底面ABCD,PA=y[3.(1)证明：平面PBE丄平面丹3；(2)求二面角A-BE-P的大小.[解析]⑴证明：如图所示，连接由是菱形且ZBCD=60。知，'BCD是等边三角形.因为E是CQ的中点，所以BE丄CQ,又AB//CD,所以BE丄力及又因为刃丄平面ABCD,BEU平面ABCD,所以丹丄BE.而PAQAB=Ay因此BE丄平面以3.夹BEU平帝PBE,所以平面丄平面丹3.(2)白(1)知，3E丄平面丹PBU平面R4B,所以PB1.BE.天4B1BE,所以ZPBA是二面角A-BE-P的平面角.pA在Rt/\PAB中，tanZPBA=^=y[^,ZPBA=60。.故二面角A-BE-P的大小是60°.
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