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人教A版高中数学必修2同步检测第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定A级 基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的个数是( )①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．3解析：由直线和平面垂直的定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③错误，④正确．答案：D2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )A．有且只有一个 B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在解析：若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．答案：B7
人教A版高中数学必修2同步检测3．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径④正六边形的两条边A．①③B．②C．②④D．①②③解析：由线面垂直的判定定理可知①③是正确的，而②中线面可能平行、相交．④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直．答案：A4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )A．平行 B．垂直相交C．垂直但不相交 D．相交但不垂直解析：因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．答案：C5.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是( )7
人教A版高中数学必修2同步检测A．1B．2C．3D．4解析：⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，所以直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC.答案：D二、填空题6．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的____________________(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)．解析：P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．答案：外心7．已知正三棱锥SABC的所有棱长都相等，则SA与平面ABC所成角的余弦值为________．解析：因为SABC为正三棱锥，所以设点S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O，连接SO，AO，如图所示，则∠SAO为SA与底面ABC所成的角，设三棱锥的棱长为a，在Rt△SOA中，AO＝·asin60°＝a，SA＝a，7
人教A版高中数学必修2同步检测所以cos∠SAO＝＝.答案：8．如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．解析：因为EA⊥α，CD⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样，因为EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，所以CD⊥平面AEB.又因为AB⊂平面AEB，所以CD⊥AB.答案：CD⊥AB三、解答题9.(2015·重庆卷)如图所示，三棱锥PABC中，PC⊥平面ABC，∠ACB＝90°.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2.证明：DE⊥平面PCD.证明：由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，故PC⊥DE.由CE＝2，CD＝DE＝，得△CDE为等腰直角三角形，故7
人教A版高中数学必修2同步检测CD⊥DE.由PC∩CD＝C，故DE⊥平面PCD.10．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BE⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.证明：因为AD⊥平面ABE，AD∥BC，所以BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC.因为BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以AE⊥BF.又因为BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE.B级 能力提升1．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如图②所示的几何体，使G1、G2、G3三点重合于点G，则下面结论成立的是( )图① 图② A．SG⊥平面EFGB．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEF7
人教A版高中数学必修2同步检测解析：在图①是，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，因此在图②中，SG⊥GE，SG⊥GF，又GE∩GF＝G，所以SG⊥平面EFG.答案：A2．在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中点，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．解析：如图所示，取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥面BB1C1C.所以AE⊥DE，因此AD与平面BB1C1C所成角即为∠ADE，设AB＝a，则AE＝a，DE＝，有tan∠ADE＝，所以∠ADE＝60°.答案：60°3.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点．(1)求证：C1D⊥平面A1B.(2)当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？证明你的结论．7
人教A版高中数学必修2同步检测证明：(1)因为直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC，所以A1C1＝B1C1.又D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1.因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D.又AA1，A1B1⊂平面A1B，AA1∩A1B1＝A1，所以C1D⊥平面A1B.(2)当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.证明如下：作DE⊥AB1交AB1于点E，延长DE交BB1于点F，连接C1F，此时AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．事实上，因为C1D⊥平面A1B，AB1⊂平面A1B，所以C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF.由已知得A1B1＝.连接A1B，在矩形A1B1BA中，A1B1＝A1A，所以四边形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，所以DF∥A1B.又D为A1B1的中点，所以F为BB1的中点．故当F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.7
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