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人教A版高中数学必修2同步检测第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定A级 基础巩固一、选择题1.下列说法中正确的个数是(  )①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直,则l⊥α;②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α;③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线;④如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂直.A.0     B.1     C.2     D.3解析:由直线和平面垂直的定理知①正确;由直线与平面垂直的定义知,②正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条直线垂直,故③错误,④正确.答案:D2.已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面(  )A.有且只有一个   B.至多一个C.有一个或无数个D.不存在解析:若异面直线m、n垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在.答案:B7 人教A版高中数学必修2同步检测3.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是(  )①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径④正六边形的两条边A.①③B.②C.②④D.①②③解析:由线面垂直的判定定理可知①③是正确的,而②中线面可能平行、相交.④中由于正六边形的两边不一定相交,所以也无法判定线面垂直.答案:A4.如图所示,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是(  )A.平行       B.垂直相交C.垂直但不相交   D.相交但不垂直解析:因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.答案:C5.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数是(  )7 人教A版高中数学必修2同步检测A.1B.2C.3D.4解析:⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC,所以直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC.答案:D二、填空题6.已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影是△ABC的____________________(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”).解析:P到△ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等,所以是外心.答案:外心7.已知正三棱锥SABC的所有棱长都相等,则SA与平面ABC所成角的余弦值为________.解析:因为SABC为正三棱锥,所以设点S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O,连接SO,AO,如图所示,则∠SAO为SA与底面ABC所成的角,设三棱锥的棱长为a,在Rt△SOA中,AO=·asin60°=a,SA=a,7 人教A版高中数学必修2同步检测所以cos∠SAO==.答案:8.如图所示,平面α∩β=CD,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,则CD与AB的位置关系是________.解析:因为EA⊥α,CD⊂α,根据直线和平面垂直的定义,则有CD⊥EA.同样,因为EB⊥β,CD⊂β,则有EB⊥CD.又EA∩EB=E,所以CD⊥平面AEB.又因为AB⊂平面AEB,所以CD⊥AB.答案:CD⊥AB三、解答题9.(2015·重庆卷)如图所示,三棱锥PABC中,PC⊥平面ABC,∠ACB=90°.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=,CE=2.证明:DE⊥平面PCD.证明:由PC⊥平面ABC,DE⊂平面ABC,故PC⊥DE.由CE=2,CD=DE=,得△CDE为等腰直角三角形,故7 人教A版高中数学必修2同步检测CD⊥DE.由PC∩CD=C,故DE⊥平面PCD.10.如图所示,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BE⊥平面ACE.求证:AE⊥BE.证明:因为AD⊥平面ABE,AD∥BC,所以BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE,所以AE⊥BC.因为BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,所以AE⊥BF.又因为BF⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,BF∩BC=B,所以AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE,所以AE⊥BE.B级 能力提升1.如图①所示,在正方形SG1G2G3中,E、F分别是边G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点,现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如图②所示的几何体,使G1、G2、G3三点重合于点G,则下面结论成立的是(  )图①       图② A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.GD⊥平面SEF7 人教A版高中数学必修2同步检测解析:在图①是,SG1⊥G1E,SG3⊥G3F,因此在图②中,SG⊥GE,SG⊥GF,又GE∩GF=G,所以SG⊥平面EFG.答案:A2.在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中点,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________.解析:如图所示,取BC的中点E,连接DE,AE,则AE⊥面BB1C1C.所以AE⊥DE,因此AD与平面BB1C1C所成角即为∠ADE,设AB=a,则AE=a,DE=,有tan∠ADE=,所以∠ADE=60°.答案:60°3.如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1的中点.(1)求证:C1D⊥平面A1B.(2)当点F在BB1上什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?证明你的结论.7 人教A版高中数学必修2同步检测证明:(1)因为直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC,所以A1C1=B1C1.又D是A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1.因为AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,所以AA1⊥C1D.又AA1,A1B1⊂平面A1B,AA1∩A1B1=A1,所以C1D⊥平面A1B.(2)当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.证明如下:作DE⊥AB1交AB1于点E,延长DE交BB1于点F,连接C1F,此时AB1⊥平面C1DF,点F即为所求.事实上,因为C1D⊥平面A1B,AB1⊂平面A1B,所以C1D⊥AB1.又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,所以AB1⊥平面C1DF.由已知得A1B1=.连接A1B,在矩形A1B1BA中,A1B1=A1A,所以四边形A1B1BA是正方形,所以A1B⊥AB1,所以DF∥A1B.又D为A1B1的中点,所以F为BB1的中点.故当F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.7 查看更多

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