高中数学人教A版必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1直线与平面垂直的判定同步练习

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2022-08-22
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《直线与平面平行的判定》同步练习◆选择题1．垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是( )A．垂直 B．平行C．a⊂αD．无法确定2．已知直线a和两个平面α，β，给出下列四个命题：①若a∥α，则α内的任意直线都与a平行；②若a⊥α，则α内的任意直线都与a垂直；③若α∥β，则β内的任意直线都与α平行；④若a与α，β所成的角相等，则α∥β.则其中真命题为( )A．①②B．②③C．①③D．③④3．空间四边形ABCD的四边相等，则它们的对角线AC，BD的关系是( )A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．a，b是直线，α是平面，下列判断正确的是( )A．a垂直α内的两条直线，则a⊥αB．a⊥b，b⊥α，则a∥αC．a∥α，b⊥α，则a⊥bD．若a∥α，a∥β则α∥β◆判断题5．判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号。(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直( )(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边( )(3)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内( )(4)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条确定的平面( )(5)已知a∥α，且b⊥α，则b⊥a( )(6)a∥b，a⊥β，则b⊥β( ) ◆填空题6．设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点，且有PA＝PC，PB＝PD则PO与平面ABCD的关系是__________。7．AB为⊙O的直径，C是异于A，B的圆周上的任意一点，PA垂直⊙O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中共有________个直角三角形。8．如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角是________。◆解答题9．如图，已知PA⊥⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E，求证：AE⊥平面PBC。10．如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角。11．如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2。(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PDB；(3)求直线BC与平面PDB所成的角的正切值。答案与解析◆选择题1、C2、B3、C 4、C◆判断题◆填空题5.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)√6.解析 ∵PA＝PC，∴PO⊥AC，又PB＝PD，∴PO⊥BD.∴PO⊥平面ABCD。答案垂直7.答案 48.解析由PA⊥平面ABC知，∠PBA就是PB与平面ABC所成的角，在Rt△PAB中，由PA＝AB，知∠PBA＝45°。◆解答题答案 45°9.证明 ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AC⊥BC，AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC。∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE。又∵PC⊥AE，BC∩PC＝C，∴AE⊥平面PBC。10.解 ∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，∴△AOB，△AOC为等边三角形。∴AB＝AC＝a。∵BC＝a，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC为等腰直角三角形。同理，△BOC也为等腰直角三角形。取BC的中点H，连接AH，OH，则AH＝OH＝a。∴AH2＋OH2＝OA2，∴△AOH为等腰直角三角形。∴∠AOH＝45°，AH⊥OH。又AH⊥BC，∴AH⊥α。∴OA与平面α所成的角为45°。11.解 (1)证明：连接AC，设AC∩BD＝H，连接EH。在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点。又由题设E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE且PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE。(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD。(3)由AC⊥平面PBD，可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角。由AD⊥CD，AD＝CD＝1，DB＝2，可得DH＝CH＝，BH＝。在Rt△BHC中，tan∠CBH＝＝。所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。查看更多

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