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第2单元一元二次函数、方程与不等式（基础篇）基础知识讲解一．不等式定理【基础知识】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．二．不等式大小比较【技巧方法】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．三．基本不等式【基础知识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．四、基本不等式的应用【基础知识】1、求最值2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【技巧方法】技巧一：凑项需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数遇到无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离技巧四：换元
一般，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造条件．总结我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．五．二次函数的性质【基础知识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【技巧方法】①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝；最值为：f（）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝，x1•x2＝；③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝
，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；六．一元二次不等式【基础知识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．【技巧方法】（1）当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）（2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．（3）当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．二.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．
（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．七．一元二次方程根与系数的关系【基础知识】一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．习题演练一．选择题（共12小题）1．若a，b，c是是实数，则下列选项正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【解析】对于A，若，则，，故A正确；
对于B，若，，则，故B错误；对于C，若，，则满足，但此时，故C错误；对于D，若，，则满足，但此时，故D错误.故选：A.2．下列不等式中，正确的是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【解析】若，则,故B错，设,则，所以C、D错，故选A3．如果实数满足：，则下列不等式中不成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，则，，A正确；由两边同除以得，B正确；由得，C正确；
，则，，D错误．故选：D．4．下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】当时，满足，但不成立，所以A错；当时，满足，但不成立，所以B错；当时，满足，但不成立，所以D错；因为所以，又，因此同向不等式相加得，即C对；故选：C5．函数的最小值是（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解析】因为，所以，
取等号时，即，所以.故选：C.6．函数的最小值是（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解析】解：因为，所以，取等号时，即，所以.故选：C7．已知，，，则的最小值为（）A．16B．4C．D．【答案】C【解析】因为，，，
则，当且仅当且即，时取等号．故选：C．8．不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：不等式，即，求得，所以原不等式的解集为故选：．9．已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A
【解析】欲使不等式的解集为空集，即函数的图像与轴无交点或只有一个交点，则，解得，故选A项.10．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，不等式，可化为，当，即时，不等式恒成立，符合题意；当时，要使不等式恒成立，需，解得，综上所述，所以的取值范围为，故选：.11．已知集合，，则（）
A．B．C．D．【答案】C【解析】集合，则故选：C12．已知集合，则集合（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，解得，所以..，所以.故选：A一．填空题（共6小题）13．不等式的解集为____________．【答案】【解析】
由得，所以不等式的解集为．故答案为：.14．已知，，且，则的最小值为_____.【答案】9【解析】，，等号成立时，.故答案为：9.15．已知，则的取值范围是________．【答案】【解析】因为，则，又由，根据不等式的基本性质，可得，所以的取值范围是.16．已知正数a，b满足，则的最小值为__________．
【答案】49【解析】因为正数a，b满足，所以，当且仅当时，等号成立．故答案为：4917．已知，，且，则的最小值为______.【答案】4【解析】，，，可得，当且仅当时取等号．，或（舍去），．故的最小值为4.故答案为：4．18．关于的不等式的解集是，则______．【答案】
【解析】因为关于的不等式的解集是，所以关于的方程的解是，由根与系数的关系得，解得，所以.三．解析题（共6小题）19．已知不等式的解集是．（1）若，求的取值范围；（2）若，求不等式的解集．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由2是解集中的元素可知其满足不等式，代入可得的取值范围；（2）结合三个二次关系可得到值，代入不等式可求解其解集试题解析：（1）∵，∴，∴（2）∵，∴是方程的两个根，
∴由韦达定理得解得∴不等式即为：其解集为．20．已知函数．（1）若关于的不等式的解集为，求的值；（2）当时，解关于的不等式．【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【解析】（1）由条件知，关于的方程的两个根为1和2，所以，解得．（2）当时，，即，当时，解得或；当时，解得；当时，解得或．综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．21．已知关于的不等式：（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若不等式的解集为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为关于的不等式：的解集为，所以和1是方程的两个实数根，由韦达定理可得:，得．（2）因为关于的不等式的解集为．当时，-3
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