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2.2.4平面与平面平行的性质时间:30分钟，总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．下列说法正确的是( )A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行【答案】C 【解析】由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无交点，所以选C．2．设平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在惟一一条与a平行的直线【答案】D【解析】直线a与B可确定一个平面γ，∵B∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b．由线面平行的性质定理知b∥a，所以存在性成立．因为过点B有且只有一条直线与已知直线a平行，所以b惟一．故选D。3．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )A．2∶25B．4∶25C．2∶5D．4∶5【答案】B 【解析】面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S△A′B′C′∶S△ABC＝()2＝()2＝-6-
．故选B。4、设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C( )A.不共面B.不论点A，B如何移动，都共面C.当且仅当点A，B分别在两条直线上移动时才共面D.当且仅当点A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面【答案】B【解析】由平面与平面平行的性质，不论A，B如何移动，动点C均在过C且与平面α，β都平行的平面上.故选B.5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E=1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B=A1F，则AF的长为 ( )A.1B.1.5C.2D.3【答案】A【解析】因为平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B=A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B=BE，所以A1F∥BE.又A1E∥BF，所以A1EBF是平行四边形，所以A1E=BF=2，所以AF=1.故选A.6.如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为AA′，BB′的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则HG与AB的位置关系是 ( )A.平行B.相交C.异面D.平行或异面【答案】A【解析】因为E，F分别为AA′，BB′的中点，所以EF∥AB，因为AB⊂平面ABCD，EF⊄-6-
平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.又平面EFGH∩平面ABCD=HG，所以EF∥HG，所以HG∥AB.故选A.二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．分别在两个平行平面的两个三角形，(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．【答案】(1)相似 (2)全等【解析】（1）中可证得三角形的边对应平行，所以两个三角形相似（2）中两个三角形对应的边相等，所以全等8．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．【答案】平行【解析】由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．9、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1上的点，若平面A1C1E∥B1D，则E的位置为________.【答案】E为DD1的中点【解析】E为DD1的中点时，B1D∥平面A1C1E.连接B1D1交A1C1于M，∵M，E分别为D1B1，D1D的中点，∴ME∥B1D.又∵B1D⊄面A1C1E，ME⊂面A1C1E，∴B1D∥平面A1C1E.10、如图所示，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．异面直线AB与MD所成角的大小________.-6-
【答案】【解析】取OB的中点E，连接ME，NE.∵ME∥AB，且AB∥CD，∴ME∥CD.又∵NE∥OC，NE∩ME＝E，OC∩CD＝C，∴平面MNE∥平面OCD.∴MN∥平面OCD.∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)．作AP⊥CD于P，连接MP，∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP.∵∠ADP＝，∴DP＝，MD＝＝，∴cos∠MDP＝＝.∴∠MDC＝∠MDP＝.所以，AB与MD所成的角的大小为.三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．【答案】证明 方法一 过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN．∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，-6-
∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN，∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，∴AE＝BF，又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM＝FN．∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．又MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．方法二 过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，∴＝，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴＝，∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD．12、如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．【答案】解 当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE，①由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，则BM∥-6-
OE，②由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF⊂平面BFM，∴BF∥平面AEC．-6-
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