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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号空间中直线之间的位置关系1,4,5平行公理与等角定理2,8,13异面直线所成的角3,6,7,9,10,11,121.(2018·陕西汉中期末)一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条( C )(A)相交(B)异面(C)相交或异面(D)平行解析:一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.2.在三棱锥PABC中,PC与AB所成的角为70°,E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,则∠FEG等于( D )(A)20°(B)70°(C)110°(D)70°或110°解析:因为E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,所以EF∥AB,EG∥PC,所以∠FEG或其补角为异面直线PC与AB所成的角,又AB与PC所成的角为70°,所以∠FEG为70°或110°.3.如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角是( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)120°解:如图,取BD的中点M,连接EM,FM.因为E,F分别是AB,CD的中点,所以EMAD,FMBC,则∠EMF或其补角就是异面直线AD,BC所成的角.因为AD=BC=2,所以EM=MF=1,在等腰△MEF中,过点M作MH⊥EF于H,在Rt△MHE中,EM=1,EH=EF=,则sin∠EMH=,于是∠EMH=60°,则∠EMF=2∠EMH=120°.
所以异面直线AD,BC所成的角为∠EMF的补角,即异面直线AD,BC所成的角为60°.故选C.4.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定( C )(A)与a,b都相交(B)只能与a,b中的一条相交(C)至少与a,b中的一条相交(D)与a,b都平行解析:如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.5.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( C )(A)CC1与B1E是异面直线(B)C1C与AE共面(C)AE,B1C1是异面直线(D)AE与B1C1所成的角为60°解析:由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.故选C.6.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,则异面直线DE与AB所成的角为 . 解析:因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角,又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.答案:45°7.如图所示,已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.(1)直线AB1和CC1所成的角为 ; (2)直线AB1和EF所成的角为 . 解析:(1)因为BB1∥CC1,所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角,∠AB1B=45°.(2)连接B1C,易得EF∥B1C,所以∠AB1C即为直线AB1和EF所成的角.
连接AC,则△AB1C为正三角形,所以∠AB1C=60°.答案:(1)45° (2)60°8.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H,E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少?解:因为AD与BC成60°角,所以∠HGF=60°或120°.设AE∶AB=x,则==x.又BC=a,所以EF=ax.由==1-x,得EH=a(1-x).所以S四边形EFGH=EF·EH·sin60°=ax·a(1-x)×=a2(-x2+x)=a2[-(x-)2+].当x=时,S最大值=a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a2.9.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,HG与IJ所成角的度数为( B )(A)90°(B)60°(C)45°(D)0°解析:将三角形折成空间几何体,如图所示,HG与IJ是一对异面直线.因为IJ∥AD,HG∥DF,所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角,又∠ADF=60°,所以HG与IJ所成的角为60°.10.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为 . 解析:还原成正方体如图所示,可知①正确.②AB∥CM,不正确.③正确.④MN⊥CD.不正确.答案:①③11.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?
(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.解:由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN不是异面直线.由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.(1)不是异面直线.理由:因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1AC1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1∥AC,得到MN∥AC,所以A,M,N,C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D.所以BC⊂平面CC1D1D,这与ABCDA1B1C1D1是正方体相矛盾.所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.12.如图,正方体ABCDEFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:(1)BE与CG所成的角;(2)FO与BD所成的角.解:(1)如图,因为CG∥BF,所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又△BEF中,∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH,因为HDEA,EAFB,所以HDFB,所以四边形HFBD为平行四边形,所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.连接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以△AFH为等边三角形,又依题意知O为AH的中点,所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角是30°.13.如图,E,F,G,H分别是三棱锥ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且==λ,==μ.(1)若λ=μ,判断四边形EFGH的形状;(2)若λ≠μ,判断四边形EFGH的形状;(3)若λ=μ=,且EG⊥HF,求的值.解:(1)因为==λ,
所以EH∥BD,且EH=BD.①又因为==μ.所以FG∥BD,且FG=BD.②又λ=μ,所以EHFG(公理4).因此λ=μ时,四边形EFGH为平行四边形.(2)若λ≠μ,由①②,知EH∥FG,但EH≠FG,因此λ≠μ时,四边形EFGH为梯形.(3)因为λ=μ,所以四边形EFGH为平行四边形.又因为EG⊥HF,所以四边形EFGH为菱形.所以FG=HG.所以AC=(λ+1)HG=HG=FG,又BD=FG=3FG,所以=.
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