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课题2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教材版本新课标：人教版《数学2》授课时间、授课人2006-12-25胡春林授课班级铜陵三中2006级高一（2）教学目标一、知识要点1.异面直线的定义2.异面直线的画法3.异面直线所成的角的定义4.平行公理与等角定理二、能力要求1.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。2.会用平面衬托来画异面直线。3.掌握并会应用平行公理和等角定理。4.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。三、情感与价值目标1.提高学生的空间想象能力和作图能力。、2.增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。3.通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。教学重点、难点教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。教学难点：异面直线所成角的推证与求解。教学方法讲授法、讨论法、指导合作探究法
教具准备学生学案一份、上课用多媒体课作一个、合作探究（二）配套教学模型一个备课札记教学过程一、复习引入1．平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）2．实例。十字路口----立交桥立交桥中,两条路线AB,CD既不平行，又不相交（非平面问题）六角螺母ABCD二、新课讲解1.异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。练习：在教室里找出几对异面直线的例子注1：两直线异面的判别一:两条直线既不相交、又不平行.两直线异面的判别二:两条直线不同在任何一个平面内.合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。空间两直线的位置关系
按平面基本性质分（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线（2）不同在任何一个平面内：异面直线按公共点个数分（1）有一个公共点:相交直线（2）无公共点：平行直线、异面直线2．异面直线的画法说明:画异面直线时,为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.HCBEDGA合作探究二：如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有对?答:共有三对3.异面直线所成的角(1)复习回顾ABGFHEDC在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于90度的角称为它们的夹角,用以刻画两直线的错开程度,如图.O
(2)问题提出在空间,如图所示,正方体ABCD－EFGH中,异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画(3)解决问题思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).a′Ob′异面直线所成的角的范围(0O,90O]注2：如果两条异面直线a,b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直,记为a⊥b思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?答:这个角的大小与O点的位置无关.(4)理论支持
㈠：我们知道,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?观察:将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边a,b,c,d,e,…之间有何关系？abceda∥b∥c∥d∥e∥…公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．——平行线的传递性推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．㈡：在平面内,我们可以证明“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”．空间中这一结论是否仍然成立呢？D1C1B1A1CABD观察：如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC与∠A1D1C1,∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?答:从图中可看出,∠ADC=∠A1D1C1,∠ADC+∠A1B1C1=180O
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．证:这个角的大小与O点的位置无关.证明:如图,再过空间另一点O’作a″∥a,设a′与b′所成的角为∠1,a″与b所成的角为∠2,∵a′∥a,a″∥a∴a′∥a″(公理4),同理b′∥b,∴∠1=∠2(等角定理)注3：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)4．例题选讲GFHEBCDA1.下图长方体中(1)说出以下各对线段的位置关系?①EC和BH是相交直线②BD和FH是平行直线③BH和DC是异面直线(2)与棱AB所在直线异面的棱共有4条?课后思考：长方体的棱中共有多少对异面直线？
ABGFHEDC例2．如图，正方体ABCD-EFGH中如图，正方体ABCD-EFGH中O为侧面ADHE的中心，求(1)BE与CG所成的角？(2)FO与BD所成的角？解：(1)如图：∵CG∥BF，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又DBEF中∠EBF=450，所以BE与CG所成的角为450（2）连接FH，∵HD∥EA∥FB∴HD∥FB∴四边形HFBD为平行四边形，∴HF∥BD，∴∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角。连接HA、AF，易得FH=HA=AF，∴△AFH为等边△，又依题意知O为AH中点,∴∠HFO=300即FO与BD所成的夹角是300注4：求异面直线的步骤是:“一作(找)二证三求”5．课堂练习GFHEBCDA.如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答：(1)450(2)600
6．课堂小结异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。空间两直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线异面直线的画法：用平面来衬托异面直线所成的角：平移，转化为相交直线所成的角公理４（平行公理）：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．异面直线所成角的求法:一作(找)二证三求课后作业作业：P56：6课后思考题：1．在平面内我们有“垂直于同一条直线的两条直线平行”在空间,这一结论是否一定成立?答:不一定注：不是所有的平面中的定理都可以推广到空间,若推广需证明其正确性.EABFDC2．“若直线a与直线b异面，直线b与直线c异面。则a与c也异面”。这一命题对吗？为什么？(即:异面直线是否具有传递性）答：不一定。注：异面直线不具有传递性
如图，正四面体A-BCD中,E、F分别是边AD、BC的中点，求异面直线EF与AC所成的角？思考：在此题中，连接AC，若有AC＝BD，则四边形EFGH是什么图形？教学后记
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