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2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系1．给出下列四个命题，其中正确的是()B①在空间若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a、b、c、d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析：①错，可以异面．②正确，公理4.③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．
2．空间两条互相平行的直线指的是()DA．在空间没有公共点的两条直线B．分别在两个平面内的两条直线C．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线．D．在同一平面内且没有公共点的两条直线3．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则()A．a∥cDB．a和c是异面直线C．a和c相交D．a和c或平行或相交或异面
4．一条直线和两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是()DA．平行B．相交C．异面D．平行或相交或异面
重点两直线的位置关系及公理41．空间两条直线的位置关系：2．公理4：平行同一条直线的两条直线互相平行，它反映了空间中的平行线也具有传递性．3．等角定理：空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
难点两异面直线所成的角已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′、b′所成的锐角(或直角)叫异面直线a、b所成的角(或夹角)．a′、b′所成的角的大小与点O的选择无关，为了简便，点O通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90°]，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a⊥b.求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算．特别注意：如果已知条件中有中点，应首先考虑三角形的中位线．
判断空间两直线的位置关系例1：下列说法正确的有()①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两条直线平行；③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；④与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条．A．1个C．3个B．2个D．4个
思维突破：①③正确．②④在平面内成立，在空间中不成立，如图1中，A1A⊥AD，AB⊥AD，但A1A∩AB＝A，故②不正确；④在空间中有无数条．图1答案：B判断空间两直线的位置关系需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，借助长方体等几何模型，得出正确答案．
1－1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：(1)AB与CC1_______；(2)A1B1与DC_____；(3)A1C与D1B_____；(4)DC与BD1________；(5)D1E与CF_____．1－2.一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一)D条的位置关系是(A．平行C．异面B．相交D．相交或异面异面平行相交异面相交
平行公理的应用例2：空间四边形ABCD中，P、Q、R、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．(1)求证：四边形PQRH是平行四边形；(2)若AC＝BD，则四边形PQRH是什么四边形？(3)若AC⊥BD，则四边形PQRH是什么四边形？(4)空间四边形ABCD满足什么条件时，PQRH是正方形？
解：(1)在△ABD中，P、H分别为AB、AD的中点，即PH为中位线．
∴PH＝PQ.∴平行四边形PQRH为菱形．(3)∵AC⊥BD，∴异面直线AC与BD所成角为直角．∵PH∥BD，PQ∥AC，∴∠HPQ为AC与BD所成的角．∴∠HPQ＝90°，即四边形PQRH为矩形．(4)由(2)、(3)的证明可知，当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形PQRH为正方形．
2－1.如图2，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F、G、H分别为AB、AD、C1B1、C1D1的中点，试判断下列直线是否平行．图2(1)AD1与BC1；(2)EF与GH；(3)DE与HB1.解：(1)平行．∴ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1.(2)平行．∵EF∥BD∥B1D1∥GH.(3)平行．取CD中点为S，连接BS，可证DE∥BS∥HB1.
求异面直线所成的角．例3：如图3，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．图3(1)哪些棱所在的直线与直线BA1是异面直线？(2)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？(3)直线BA1和CC1的夹角是多少？(4)直线BA1和B1C的夹角是多少？(5)直线BD和AC1的夹角是多少？
解：(1)经过顶点B、A1的六条棱与直线BA1都相交，不是异面直线，其余六条CD、C1D1、CC1、DD1、C1B1、DA与直线BA1都是异面直线．(2)根据异面直线所成角的定义知，上底面、下底面的四条棱都和直线AA1垂直，即AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、D1A1所在的直线与直线AA1垂直．(3)因为CC1∥BB1，则∠B1BA为直线BA1和CC1的夹角，显然为45°.(4)连接BD、A1D，因为A1D∥B1C，则∠BA1D为直线BA1和B1C的夹角，又△A1BD是正三角形，所以∠BA1D＝60°.
(5)分别取B1B、D1D的中点E、F，连接AE、EC1、C1F、FA、EF，显然EF∥BD，四边形AEC1F为菱形，EF⊥AC1，即BD⊥AC1，故直线BD和AC1的夹角是90°.求异面直线所成角的基本方法就是平移，有时候平移两条直线，有时候只需要平移一条直线，得到两条相交直线，最后在三角形或四边形中解决问题．
图4A．45°B．60°C．90°D．120°解析：连接BC1、A1B、A1C1、EF，则EF∥A1B，GH∥BC1，∴∠A1BC1是异面直线EF、GH所成的角,∵在正方体中,△A1BC1是等边三角形，∴∠A1BC1＝60°.B所成的角等于()3－1.如图4，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH
例4：若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面正解：B错因剖析：由公理4知过点P没有与l、m都平行的直线；C、D选项中，都有无数条直线．
4－1.(2010年江西)如图5，过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()图5A．1条B．2条C．3条D．4条
解析：如图13，将A移到O点，对应在O点建立坐标系，形成x轴、y轴、z轴，l与x、y、z轴所成角相等，这样的直线刚好是4条体对角线所在直线，所以4条．图13答案：D
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