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第10课时 空间中直线与直线之间的位置关系对应学生用书P27 知识点一空间中两条直线的位置关系1．下列说法中正确的个数是( )①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线；④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．A．0B．1C．2D．3答案 B解析 对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，故②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内过该点的直线是相交直线，故③不正确；对于④，如图所示，直线AB，AC分别与两异面直线a，b都相交，但AB，AC却是相交直线，故④不正确．2．设三条不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l3，l2⊥l3，则l1与l2( )A．是异面直线B．是相交直线C．是平行直线D．可能相交，或平行，或异面直线答案 D解析 构造长方体，令l3为一侧棱，可知选D．
知识点二公理4及等角定理3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D，平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直答案 C解析 连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C．4．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )A．全等B．相似C．仅有一个角相等D．无法判断答案 B解析 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似．知识点三异面直线所成的角5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析 如图，因为BB1∥AA1，所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角．因为tan∠A1AC1＝＝＝，所以∠A1AC1＝60°，故选C．6．在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，求：(1)A′B和AD′所成的角；(2)D′B和AC所成的角．
解 (1)如右图，连接BC′，A′C′，∵AD′∥BC′，∴∠A′BC′即为A′B与AD′所成的角．又A′C′＝A′B＝BC′＝a，∴∠A′BC′＝60°，∴A′B和AD′所成的角为60°．(2)如图，连接AC，与BD交于点O，则O为AC的中点，取DD′的中点E，连接OE，则OE∥BD′，则∠AOE即为AC与BD′所成的角．连接AE，CE，则AE＝CE，∴△ACE为等腰三角形．∴EO⊥AC，即∠AOE＝90°．∴D′B和AC所成的角为90°．对应学生用书P27 一、选择题1．在空间中，下列结论正确的是( )A．三角形确定一个平面B．四边形确定一个平面C．一个点和一条直线确定一个平面D．两条直线确定一个平面答案 A解析 空间四边形不能确定一个平面，因此B错误；若点在直线上，则有无数个平面，因此C错误；若两条直线异面，则不能确定一个平面，因此D错误．2．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )A．60°B．120°
C．30°D．60°或120°答案 D解析 由等角定理可知，β为60°或120°．3．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )A．CC1与B1E是异面直线B．CC1与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°答案 C解析 由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，A错误；由于CC1在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于点E，点E不在C1C上，故CC1与AE是异面直线，同理，AE与B1C1是异面直线，所以B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D错误．故选C．4．如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝4，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析 如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°，故选C．
5．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点．若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°答案 A解析 取AD的中点H，连接FH，EH，则EH∥CD，FH∥AB．∠FEH是EF与CD所成的角或其补角，∠EFH是EF与AB所成的角或其补角．∵EF⊥AB，∴在△EFH中，∠EFH＝90°．∵CD＝2AB，∴HE＝2HF，∴∠FEH＝30°．二、填空题6．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．答案 平行解析 在△ABC中，∵AE∶EB＝AF∶FC，∴EF∥BC．又∵BC∥B1C1，∴EF∥B1C1．7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和BD所成的角是________．
答案 60°解析 ∵EF∥AB1，BD∥B1D1，∴∠AB1D1为异面直线EF，BD所成的角或其补角，连接AD1，得△AB1D1为正三角形，∴∠AB1D1＝60°．8．如图所示，空间四面体A－BCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，MN＝5，则异面直线AC与BD所成的角为________．答案 90°解析 取AD的中点P，连接PM，PN．∵M，N分别为AB，CD的中点，∴PM∥BD，PN∥AC，∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角或其补角．∵AC＝8，BD＝6，∴PN＝AC＝4，PM＝BD＝3．又MN＝5，在△PMN中，由勾股定理知∠MPN＝90°．故异面直线AC和BD所成的角为90°．三、解答题9．长方体AC1中，底面ABCD为边长为2的正方形，高AA1为1，M，N分别是边C1D1与A1D1的中点．
(1)求证：四边形MNAC是等腰梯形；(2)求梯形MNAC的面积．解 (1)证明：连接A1C1，则MN是△A1C1D1的中位线，如图所示，则有MN綊A1C1．又A1C1綊AC，∴MN綊AC．∴M，N，A，C共面，且四边形MNAC为梯形．∵Rt△AA1N≌Rt△CC1M．∴AN＝CM．∴梯形MNAC为等腰梯形．(2)由题意，得AN2＝A1A2＋A1N2＝1＋1＝2，AC＝2，MN＝，则梯形MNAC的高h＝＝，∴S梯形ACMN＝(AC＋MN)×h＝．10．在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE．设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q．(1)求证：M，N，P，Q四点共面；(2)若AC⊥DE，且AC＝BC，求异面直线DE与PN所成角的大小．解 (1)证明：∵CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，∴PQ为△ADE的中位线，MN为梯形BCDE的中位线．∴PQ∥DE，MN∥DE，∴PQ∥MN，∴M，N，P，Q四点共面．(2)∵PN为△ABE的中位线，∴PN∥AB．又BC∥DE，∴∠ABC即为异面直线DE与PN所成的角或其补角．又AC⊥DE，∴AC⊥BC，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝＝，∴∠ABC＝60°．∴异面直线DE与PN所成的角为60°．
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