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第二章2.12.1.2空间中直线与直线之间的位置关系A级 基础巩固一、选择题1．异面直线是指( D )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[解析] 对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．对于C，如右图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D．2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有( C )A．3条 B．4条 C．6条 D．8条[解析] 与AC1异面的棱有：A1D1，A1B1，DD1，CD，BC，BB1共6条．3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则( D )A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交 D．a、c平行或相交或异面[解析] 例如在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取AB，CD所在直线分别为a，c，B1C1所在直线为b，满足条件要求，此时a∥c；又取AB，BC所在直线分别为a，c，DD1，所在直线为b，也满足题设要求，此时a与c相交；又取AB，CC1所在直线分别为a，c，A1D1所在直线为b，则此时，a与c异面．故选D．4．过直线l外两点可以作l的平行线条数为( D )A．1条 B．2条 C．3条 D．0条或1条[解析] 以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1为例．
令A1B1所在直线为直线l，过l外的两点A、B可以作一条直线与l平行，过l外的两点B、C不能作直线与l平行，故选D．5．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为( A )A．30° B．45° C．60° D．90°[解析] 取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，故选A．6．下列命题中，正确的结论有( B )①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[解析] ②④是正确的．二、填空题7．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若＝＝，＝＝，则四边形EFGH形状为__梯形__.[解析] 如右图
在△ABD中，∵＝＝，∴EH∥BD且EH＝BD.在△BCD中，∵＝＝，∴FG∥BD且FG＝BD，∴EH∥FG且EH>FG，∴四边形EFGH为梯形．8．已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是__平行__.[解析] 如图所示，MN綊AC，又∵AC綊A′C′，∴MN綊A′C′.三、解答题9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．求证：∠NMP＝∠BA1D.[解析] 如图，连接CB1、CD1，∵CD綊A1B1，
∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C.∵M、N分别是CC1、B1C1的中点，∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.∵BC綊A1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1.∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1，∴MP∥A1B，∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，∴∠NMP＝∠BA1D.B级 素养提升一、选择题1．若直线a、b分别与直线l相交且所成的角相等，则a、b的位置关系是( D )A．异面 B．平行C．相交 D．三种关系都有可能[解析] 以正方体ABCD－A1B1C1D1为例．A1B1、AB所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1∥AB；A1B1、BC所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1与BC是异面直线；AB、BC所在直线与AC所在直线相交且所成的角相等，AB与BC相交，故选D．2．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( D )A．梯形 B．矩形C．平行四边形 D．正方形[解析] ∵E、F、G、H分别为中点，如图．
∴FG綊EH綊BD，HG綊EF綊AC，又∵BD⊥AC且BD＝AC，∴FG⊥HG且FG＝HG，∴四边形EFGH为正方形．3．点E、F分别是三棱锥P－ABC的棱AP、BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则异面直线AB与PC所成的角为( D )A．60° B．45° C．30° D．90°[解析] 如图，取PB的中点G，连结EG、FG，则EG綊AB，GF綊PC，则∠EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角，在△EFG中，EG＝AB＝3，FG＝PC＝4，EF＝5，所以∠EGF＝90°.4．如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于( A )A．5 B．6C．8 D．10[解析] 如图，取AD的中点P，连接PM、PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5.
二、填空题5．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有__1__条.[解析] 与AD1异面的面对角线分别为：A1C1、B1C、BD、BA1、C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.6．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB∥CM；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为__①②__.[解析] 把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①②正确．C级 能力拔高1．已知空间四边形ABCD中，AB≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线，求证：AE与DF是异面直线.[解析] 由已知，得E、F不重合．设△BCD所在平面为α，则DF⊂α，A∉α，E∈α，E∉DF，∴AE与DF异面．
2．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G、H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.[解析] ∵梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC、AD的中点，∴EF∥AB且EF＝(AB＋CD)，又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB.∵G、H分别为AD′、BC′的中点，∴GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，∴GH綊EF，∴四边形EFGH为平行四边形．
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