资料简介
空间中直线与直线的位置关系
判断下列命题对错：1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上的所有点都在这个平面内。（）2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平面只有一个公共点。（）3、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点必在同一个平面内。（）4、一条直线和一个点可以确定一个平面。（）5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可以确定一个平面。（）平面有关知识（复习）
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.平面的基本性质
文字语言图形语言符号语言mB·错误·A·..作用：用来判断直线是否在平面内公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
文字语言图形语言符号语言公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.α·A·B·C作用：一确定平面二用来证明点，线共面
文字语言图形语言符号语言公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.αβ·P判定两个平面是否相交二是判断点在线上.(点是两个面公共点,线是两面公共线则点在线上)
图形符号语言文字语言(读法)点在直线上点不在直线上点在平面内点不在平面内直线a、b交于点A点、线、面的基本位置关系（1）符号表示：（2）集合关系：点A、线a、面α
图形符号语言文字语言(读法)直线a在平面内直线a与平面无公共点直线a与平面交于点平面与相交于直线
平面公理的应用1.点点共面2.线线共面3.点点共线4.线线共点
判断下列直线的位置关系:1、竖直的两条电线杆所在的直线思考:在平面内，两条不重合的直线之间有几种位置关系?2、十字路口的两条路所在的直线3、教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线空间的两直线呢?
复习引入：1、同一平面内不重合两条直线有几种位置关系？2、在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系？(1)、相交：有且仅有一个公共点。(2)、平行：在同一平面内没有公共点。互相平行提出问题：空间中的两条直线呢？
1.空间中两条直线的位置关系观察：观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线,想一想:它们相交吗?平行吗?共面吗?观察上方体的棱所在直线,回答类似的问题.思考：我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？
lmPml图1图2llll空间中两直线的位置关系从图中可见，直线l与m既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线）不同在任何一个平面内1、异面直线判断：直线m和l是异面直线吗?αβlmml(1)(2),则与是异面直线(3)a,b不同在平面内,则a与b异面
异面直线的画法:通常用一个或两个平面来衬托,异面直线不同在任何一个平面的特点
异面直线的画法αab图1αβba图2αab图3
这样表示a、b异面正确吗？αβba
想一想,做一做：1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？
2.下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？想一想,做一做：HGFEDCBA三对AB与CDAB与GHEF与GH3.
A1B1C1D1ABCD如图:AA1与CC1在同一平面吗?直观上理论上在图中找出另外的一些异面直线BB1∥AA1,DD1∥AA1,BB1与DD1平行吗?
空间两条直线的位置关系①相交直线②平行直线③异面直线---------有且仅有一个公共点--------在同一平面内,没有公共点------不同在任何一个平面内,没有公共点
①从有无公共点的角度：有且仅有一个公共点---------相交直线在同一平面内--------相交直线②从是否共面的角度没有公共点---------平行直线异面直线不同在任何一个平面内---------异面直线平行直线
空间两条直线的位置关系有且只有三种平行相交异面位置关系公共点个数是否共面没有只有一个没有共面不共面共面空间中两条直线的位置关系
2. 空间两平行直线提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？平行吗?中,观察：如图2.1.2-5,长方体与那么DD'∥AA'BB'∥AA'
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。a∥bc∥ba∥c符号表示：设空间中的三条直线分别为a,b,c,若想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律?
例题示范例1：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。分析：欲证EFGH是一个平行四边形只需证EH∥FG且EH＝FGE，F，G，H分别是各边中点连结BD,只需证：EH∥BD且EH＝BDFG∥BD且FG＝BDABDEFGHC
例题示范例1：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。ABDEFGHC∵EH是△ABD的中位线∴EH∥BD且EH=BD同理，FG∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一个平行四边形证明：连结BD
AcBDEFGH例2、已知四边形ＡＢＣＤ是空间四边形，Ｅ、Ｈ分别是边ＡＢ、ＡＤ的中点，Ｆ、Ｇ分别是边ＣＢ、ＣＤ上的点，且 ＝ ＝ 。求证：四边形ＥＦＧＨ有一组对边平行但不相等ＣＦＣＢＣＧＣＤ２３
变式一：在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?EHFGABCD分析：在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。菱形
变式二：空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且，求证:四边形ABCD为梯形.ABCDEHFG分析：需要证明四边形ABCD有一组对边平行，但不相等。
ＡＢＣＤＥＰＭＮ例3、如图，Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一点，Ｄ、Ｅ分别是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心。求证：ＤＥ∥ＡＣ，ＤＥ＝ ＡＣ１３
１、一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（ ）Ａ、平行 Ｂ、相交Ｃ、异面 Ｄ、可能平行、可能相交、可能异面２、两条异面直线指的是（ ）Ａ、没有公共点的两条直线Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线Ｄ、不同在任何一个平面内的两条直线练习：
３、两条直线不相交是这两条直线异面的条件_______.４、两条直线不平行是这两条直线异面的 条件５、下列命题中，其中正确的是（１）若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行（２）若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行（３）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行（４）若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行
６、三个平面两两相交，所得的三条交线（ ）Ａ、交于一点 Ｂ、互相平行Ｃ、有两条平行 Ｄ、或交于一点或互相平行
3. 等角定理提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?观察思考：如图,∠ADC与∠A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
3. 等角定理定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
3. 等角定理定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
4. 异面直线所成的角如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）。为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线a'∥a，a'和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。想一想:a'与b'所成角的大小与点O的位置有关吗?
两直线的夹角：两直线相交所成的4个角中,其中不大于的角叫做两直线的夹角
三、两条异面直线所成的角如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作a，b的平行线a′和b′，abPa′b′O则这两条线所成的锐角θ（或直角），θ称为异面直线a，b所成的角。？任选Oa′若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。异面直线a与b垂直也记作a⊥b异面直线所成角θ的取值范围：平移
异面直线所成的角如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作a⊥b。
填空：1、空间两条不重合的直线的位置关系有________、________、________三种。2、没有公共点的两条直线可能是________直线，也有可能是________直线。3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系有______________。4、过已知直线上一点可以作______条直线与已知直线垂直。5、过已知直线外一点可以作______条直线与已知直线垂直。平行相交异面平行异面无数无数相交、异面
1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。()2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。()3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。()4、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直。()判断对错：
5. 异面直线的判定定理异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线与是异面直线
例题示范例3、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'中。（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？（2）直线BA'和CC'的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线成异面直线的有直线，
例题示范例3、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'中。（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？（2）直线BA'和CC'的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？解：（2）由可知，等于异面直线与的夹角,所以异面直线与的夹角为450。(3)直线与直线都垂直.
练一练,巩固新知：P48页练习1,2题。例3: 如图，是平面外的一点分别是的重心，求证：。证明：连结分别交于,连结,∵G,H分别是⊿ABC,⊿ACD的重心,∴M,N分别是BC,CD的中点,∴MN//BD,又∵∴GH//MN,由公理4知GH//BD.
练习反馈：1.判断:（1）平行于同一直线的两条直线平行.（）（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（）（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （）（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （）（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（）（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（ ）√×√√××
练习反馈：2．选择题（1）“a，b是异面直线”是指 ①a∩b=Φ,且a不平行于b；②aÌ平面a，bÌ平面b且a∩b=Φ③aÌ平面a，b平面a④ 不存在平面a，能使aÌa且bÌa成立上述结论中，正确的是（ ）（A）①②（B）①③（C）①④（D）③④（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（ ）（A）2对（B）3对（C）6对（D）12对CC
（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（）（A）一定是异面直线（B）一定是相交直线（C）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是()（A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？答：不一定，还可能异面．DD
4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面．5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．
6．选择题（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）（A）异面（B）平行（C）相交（D）以上都有可能（2）异面直线a,b满足aÌa,bÌb,a∩b=l,则l与a,b的位置关系一定是（）(A)l至多与a，b中的一条相交;(B)l至少与a，b中的一条相交;(C)l与a,b都相交;(D)l至少与a，b中的一条平行.DB
（3）两异面直线所成的角的范围是（）（A）（0°,90°）（B）[0°,90°)（C）（0°,90°]（D）[0°,90°]7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 （ ）（2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 （ ）（3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 （）C×√×
课堂小结：这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答”作业布置:P51 A组3、4（1）（2）（3）、5、6.
小结①从有无公共点的角度：有且仅有一个公共点---------相交直线在同一平面内--------相交直线②从是否共面的角度没有公共点---------平行直线异面直线不同在任何一个平面内---------异面直线平行直线空间直线公理４ 平行同一条直线的两条直线互相平行
思考题：1、a与b是异面直线，且c∥a，则c与b一定（）。（A）异面（B）相交（C）平行（D）不平行2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数是（）对。（A）6（B）3（C）8（D）123、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（）平面。（A）一个（B）两个（C）三个（D）四个
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