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..空间点、直线、平面之间的位置关系一、知识要点:  1.平面的根本性质:  公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。    公理2:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。  公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。    2.空间中直线与直线之间的位置关系:  空间两条直线的位置关系有且只有三种:jz* ..    如图:AB与BC相交于B点,AB与A′B′平行,AB与B′C′异面。  公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。  定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。  3.空间中直线与平面之间的位置关系:  〔1〕直线在平面内……有无数个公共点;  〔2〕直线与平面相交……有且只有一个公共点;  〔3〕直线与平面平行……没有公共点。  其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。jz* ..  注意,我们不提倡如下画法.  4.平面与平面之间的位置关系:  〔1〕两个平面平行……没有公共点;  〔2〕两个平面相交……有一条公共直线。二、例题讲解:例1、根据图形,写出图形中点、直线和平面之间的关系.  图1可以用几何符号表示为:___________________________________________.  图2可以用几何符号表示为:___________________________________________.  分析:jz* ..此题关键是找出图中根本元素点、直线、平面,然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系,最后用文字语言和符号语言写出.  解:图1可以用几何符号表示为:  即:平面与平面相交于直线AB,直线a在平面,直线b在平面,直线a平行于直线AB,直线b平行于直线AB.  图2可以用几何符号表示为:,△ABC的三个顶点满足条件  即:平面与平面相交于直线MN,△ABC的顶点A在直线MN上,点B在内但不在直线MN上,点C在平面内但不在直线MN上.  例2、观察下面的三个图形,说出它们有何异同.分析:图1既可能是平面图形,也可能是一个空间图形的直观图;图2、图3均用了一条直线衬托,它们都是空间图形的直观图.  解:图1可能是平面图形,也可能是空间图形的直观图;图2是MN凸在外面的一个空间图形的直观图;图3是MN凹在里面的一个空间图形的直观图.jz* ..  点评:〔1〕此题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法.而这些画法的掌握程度将影响对空间构造的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习.  〔2〕与此题类似的其它变形还有:  用虚线画出图4正方体和图5三棱锥中被遮挡的棱,完成图形.例3、正方体ABCD-A1B1C1D1中,  〔1〕DD1和A1B1的位置关系如何?    D1B和AC的位置关系如何?    A1C和D1B的位置关系如何?  〔2〕和AD成异面直线的棱所在直线有几条?  〔3〕和BD1成异面直线的棱所在直线有几条?  〔4〕六个面的正方形对角线共12条,这些对角线所在直线中,异面直线共有多少对?jz* ..解析:我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种,判断的依据是看两条直线是共面还是异面及是否有公共点。  〔1〕异面直线;异面直线;相交直线;  〔2〕4条.分别是A1B1、B1B、C1D1、C1C;  〔3〕6条.分别是AA1、CC1、A1B1、B1C1、AD、CD;  〔4〕30对。  例4、:如图,立体图形A—BCD的四个面分别是△ABC、△ACD、△ABD和△BCD ,E、F、G分别为线段AB、AC、AD上的点,EF∥BC,FG∥CD.  求证:△EFG∽△BCD.jz* ..证明:∵在平面ABC中,EF∥BC,∴=.  又在平面ACD中,FG∥CD,∴=.  ∴=.  ∴EG∥BD.  ∴∠EFG=∠BCD.  同理∠FGE=∠CDB,  ∴△EFG∽△BCD.  与本例类似变形还有:  :将一张长方形的纸片ABCD对折一次,EF为折痕再翻开竖直在桌面上,如下列图,连结AD、BC.  求证:ADBC,∠ADE=∠BCF.〔证明略〕三、练习:  1.以下列图形中,满足的图形是〔 〕.jz* ..          〔A〕             〔B〕          〔C〕             〔D〕  2.A、B表示点,b表示直线,、表示平面,以下命题和表示方法都正确的选项是〔 〕.  〔A〕  〔B〕  〔C〕    〔D〕  3.用符号表示“假设A、B是平面内的两点,C是直线AB上的点,那么C必在〞,即是________________.  4.“a,b为异面直线〞是指:  〔1〕且a不平行于b;  〔2〕且;  〔3〕且;  〔4〕jz* ..;  〔5〕不存在平面,使且成立.  上述结论中,正确的选项是〔 〕.  〔A〕〔1〕〔4〕〔5〕  〔B〕〔1〕〔3〕〔4〕  〔C〕〔2〕〔4〕     〔D〕〔1〕〔5〕  5.一条直线和两条异面直线的一条平行,那么它和另一条的位置关系是〔 〕.  〔A〕平行或异面  〔B〕异面  〔C〕相交  〔D〕相交或异面  6.如图,空间四边形ABCD中,M、N分别是△ABC和△ACD的重心,假设BD=m,那么MN=__________.  7.如图,是一个正方体的展开图,如果将它复原为正方体,那么AF、BC、DE这三条线段所在直线是异面直线的是__________,它们所成的角为________度。jz* ..四、练习答案:  1.提示:根据平面的无限延展性及平面画法来判断.  答案:〔C〕.  2.提示:根据点与平面应用“〞“〞连接排除A;根据公理两个平面相交为一条直线,排除B;再跟据图形可排除D,因为A有可能在平面上.  答案:〔C〕.  3.提示:熟悉点与线,点与平面的关系,正确使用“〞、“〞等符号.  答案:.  4.提示:根据异面直线定义“不同在任何一个平面内,没有公共点的两条直线叫异面直线〞,结合图形可排除〔2〕、〔3〕、〔4〕.〔∵〔2〕中可能有a∥b,〔3〕中可能有a∥b,〔4〕可能有a与b相交或平行.〕〔5〕是正确的,再由直线位置关系可得〔1〕也是正确的.  答案:〔D〕.  5.提示:由公理可排除〔A〕,再结合图形可利用平移方法验证.jz* ..  答案:〔D〕.  6.提示:重心是三条中线的交点,并分每条中线的比为2∶3.连结AM并延长交BC于E,连结AN并延长交CD于F,再连结MN、EF,根据三角形重心性质得BE=EC,CF=FD.  ∴MNEF,EFBD.  ∴MNBD ∴MN=m.  答案:m.  7.解析:展开图复原成正方体如下列图〔C点与D点重合〕,成异面直线的是AF与BC〔或BD),AF与BC所成角即为CE与BC所成角,为60度。jz* 查看更多

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