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2.1（2）空间点、直线、平面之间的位置关系（教学设计）2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教学目标：1、知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）理解并掌握异面直线所成角的定义、范围及应用。2、过程与方法（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。3、情感态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。难点：异面直线所成角的计算。教学过程一、复习回顾：1、平面有哪些性质？（无限延展性）（1）同一平面内的两条直线位置关系有哪些？（平行、相交）（2）空间的两条直线有哪些位置关系呢？二、创设情景、导入课题通过身边诸多实物（如：正方体、正四面体（学生自已做的几何体等）），引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。三、师生互动、新课讲解1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交：同一平面内，有且只有一个公共点共面直线：平行：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点精品学习资料可选择pdf第1页，共5页-----------------------
例1：判断：下列各图中直线l与m是异面直线吗?mmllml123mmmlll4562、平行公理：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？组织学生观察长方体模型并思考：D'C'长方体ABCD-A′B′C′D′中，A'B'BB′∥AA′，DD′∥AA′，BB′与DD′平行吗？（平行）DC再联系其他相应实例归纳出公理4AB公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。数学符号语言表示：共同讨论得出符号表示为：设a、b、c是三条直线a∥b=>a∥cc∥b公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4的作用：用于判断空间两条直线平行。例2（课本P45例2）：如图，已知空间四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，试判断四边形EFGH是什么四边形，并证明你的结论。证明：连结BDA∵E、H分别是AB、AD的中点H∴EH是△ABD的中位线E1∴EH∥BD，且EH=BDDG2C1BF同理，FG∥BD，且FG=BD2∴EH∥FG，且EH=FG∴四边形EFGH是平行四边形探究：在例2中，若加上条件AC=BD，那么这个四边形是什么四边形？（菱形）例3：如右图：长方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是C′D′、CC′的中点，那么A′E与BF的位置关系怎精品学习资料可选择pdf第2页，共5页-----------------------
样？D'EC'A'B'FDCAB3、等角定理：平几中的等角定理在空间中结论是否依然成立？让学生观察、思考：∠ADC与∠A′D′C′、∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？0（∠ADC=∠A＇D＇C＇，∠ADC+∠A′B′C′=180）师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。结论：①a＇与b＇所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0，〕；2③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。例4：（1）如图，观察长方体ABCD-A′B′C′D′，有没有两条棱所在的直线是D'C'互相垂直的异面直线？A'B'（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？DC（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ABＤ＇Ｃ＇例5（课本P47例3）如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′。（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？A＇Ｂ＇（2）直线BA′与CC′的夹角是多少？DC精品学习资料可选择pdf第3页，共5页--------------AB---------
（3）哪些棱所在直线与直线AA′垂直？课堂练习：（课本P48练习NO：1；2）四、课堂小结，巩固反思：（1）本节课学习了哪些知识内容？（2）计算异面直线所成的角应注意什么？（3）通过本节课的学习，最大收获是什么？五、布置作业：A组：1、（课本P51习题2.1A组第3题）（做在书上即可）2、（课本P51习题2.1A组第4题）（做在书上即可）3、（课本P51习题2.1A组第5题）（做在书上即可）4、（1）分别在两个平面内的两条直线的位置关系是_______。(相交，平行、异面)（2）不平行的两条直线的位置关系是_________（相交或异面）（3）直线a和b是异面直线，直线c//a，那么b与c的位置关系是_____（相交或异面）（4）两条直线没有公共点，它们的位置关系是______（平行或异面）B组：1、（课本P51习题2.1B组第1题）（做在书上即可）2.一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（D）A.平行B.相交C.异面D.可能相交、可能平行、可能异面3.已知a、b是异面直线，c∥a，那么c与b（C）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线HG4、如图，正方体ABCD-EFGH中如图，正方体ABCD-EFGH中O为侧面ADHE的中心，求EF(1)BE与CG所成的角？(2)FO与BD所成的角？DC解：(1)如图：∵CG∥BF，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，AB00又BEF中∠EBF=45，所以BE与CG所成的角为45（2）连接FH，∵HD∥EA∥FB∴HD∥FB∴四边形HFBD为平行四边形，∴HF∥BD，∴∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角。连接HA、AF，易得FH=HA=AF，∴△AFH为等边△，00又依题意知O为AH中点,∴∠HFO=30即FO与BD所成的夹角是30注4：求异面直线的步骤是:“一作(找)二证三求”5、如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=23,AD=23,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?精品学习资料可选择pdf第4页，共5页-----------------------
HGEF(2)求AE和BG所成的角是多少度?00解答：(1)45(2)60DCAB6、(tb2601303)正四面体ABCD中，已知E、F、G、H分别是AC、BC、BD、AD的中点，求证：四边形EFGH是正方形。精品学习资料可选择pdf第5页，共5页-----------------------
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